Elementarmathematik Beispiele

log (8 x) - log (1 + \sqrt{x}) = 2

$\log (8 x) - \log (1 + \sqrt{x}) = 2$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen,

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

log (\frac{8 x}{1 + \sqrt{x}}) = 2

$\log (\frac{8 x}{1 + \sqrt{x}}) = 2$

Schritt 1.2

Mutltipliziere

\frac{8 x}{1 + \sqrt{x}}

$\frac{8 x}{1 + \sqrt{x}}$ mit

\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}}

$\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}}$ .

log (\frac{8 x}{1 + \sqrt{x}} \cdot \frac{1 - \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}}) = 2

$\log (\frac{8 x}{1 + \sqrt{x}} \cdot \frac{1 - \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}}) = 2$

Schritt 1.3

Mutltipliziere

\frac{8 x}{1 + \sqrt{x}}

$\frac{8 x}{1 + \sqrt{x}}$ mit

\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}}

$\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}}$ .

log (\frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{(1 + \sqrt{x}) (1 - \sqrt{x})}) = 2

$\log (\frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{(1 + \sqrt{x}) (1 - \sqrt{x})}) = 2$

Schritt 1.4

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

log (\frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{1 - \sqrt{x} + \sqrt{x} - {\sqrt{x}}^{2}}) = 2

$\log (\frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{1 - \sqrt{x} + \sqrt{x} - {\sqrt{x}}^{2}}) = 2$

Schritt 1.5

Vereinfache.

log (\frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{- x + 1}) = 2

$\log (\frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{- x + 1}) = 2$

log (\frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{- x + 1}) = 2

$\log (\frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{- x + 1}) = 2$

Schritt 2

Schreibe

log (\frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{- x + 1}) = 2

$\log (\frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{- x + 1}) = 2$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn

x

$x$ und

b

$b$ positive reelle Zahlen sind und

b

$b$

\neq

$\neq$

1

$1$ , dann ist

{log}_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu

b^{y} = x

$b^{y} = x$ .

10^{2} = \frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{- x + 1}

$10^{2} = \frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{- x + 1}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

8 x (1 - \sqrt{x}) = 10^{2} (- x + 1)

$8 x (1 - \sqrt{x}) = 10^{2} (- x + 1)$

Schritt 4

Vereinfache

10^{2} (- x + 1)

$10^{2} (- x + 1)$ .

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Schritt 4.1

Potenziere

10

$10$ mit

2

$2$ .

8 x (1 - \sqrt{x}) = 100 (- x + 1)

$8 x (1 - \sqrt{x}) = 100 (- x + 1)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

8 x (1 - \sqrt{x}) = 100 (- x) + 100 \cdot 1

$8 x (1 - \sqrt{x}) = 100 (- x) + 100 \cdot 1$

Schritt 4.3

Multipliziere.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

100

$100$ .

8 x (1 - \sqrt{x}) = - 100 x + 100 \cdot 1

$8 x (1 - \sqrt{x}) = - 100 x + 100 \cdot 1$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere

$100$ mit

$1$ .

$8 x (1 - \sqrt{x}) = - 100 x + 100$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die

$x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Addiere

$100 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 x (1 - \sqrt{x}) + 100 x = 100$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x \cdot 1 + 8 x (- \sqrt{x}) + 100 x = 100$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere

$8$ mit

$1$ .

$8 x + 8 x (- \sqrt{x}) + 100 x = 100$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$8$ .

$8 x - 8 x \sqrt{x} + 100 x = 100$

Schritt 5.3

Addiere

$8 x$ und

$100 x$ .

$- 8 x \sqrt{x} + 108 x = 100$

Schritt 6

Faktorisiere

$4 x$ aus

$- 8 x \sqrt{x} + 108 x$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere

$4 x$ aus

$- 8 x \sqrt{x}$ heraus.

$4 x (- 2 \sqrt{x}) + 108 x = 100$

Schritt 6.2

Faktorisiere

$4 x$ aus

$108 x$ heraus.

$4 x (- 2 \sqrt{x}) + 4 x (27) = 100$

Schritt 6.3

Faktorisiere

$4 x$ aus

$4 x (- 2 \sqrt{x}) + 4 x (27)$ heraus.

$4 x (- 2 \sqrt{x} + 27) = 100$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in

$4 x (- 2 \sqrt{x} + 27) = 100$ durch

$4$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in

$4 x (- 2 \sqrt{x} + 27) = 100$ durch

$4$ .

$\frac{4 x (- 2 \sqrt{x} + 27)}{4} = \frac{100}{4}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$4$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x (- 2 \sqrt{x} + 27)}{4} = \frac{100}{4}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere

$x (- 2 \sqrt{x} + 27)$ durch

$1$ .

$x (- 2 \sqrt{x} + 27) = \frac{100}{4}$

Schritt 7.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (- 2 \sqrt{x}) + x \cdot 27 = \frac{100}{4}$

Schritt 7.2.3

Stelle um.

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Schritt 7.2.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 2 x \sqrt{x} + x \cdot 27 = \frac{100}{4}$

Schritt 7.2.3.2

Bringe

$27$ auf die linke Seite von

$x$ .

$- 2 x \sqrt{x} + 27 x = \frac{100}{4}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividiere

$100$ durch

$4$ .

$- 2 x \sqrt{x} + 27 x = 25$

Schritt 8

Subtrahiere

$27 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x \sqrt{x} = 25 - 27 x$

Schritt 9

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 2 x \sqrt{x})}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

Schritt 10

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{x}$ als

$x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

Schritt 10.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache

${(- 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 10.2.1.1

Multipliziere

$x$ mit

$x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.2.1.1.1

Bewege

$x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 (x^{\frac{1}{2}} x))}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

Schritt 10.2.1.1.2

Mutltipliziere

$x^{\frac{1}{2}}$ mit

$x$ .

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Schritt 10.2.1.1.2.1

Potenziere

$x$ mit

$1$ .

${(- 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}))}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

Schritt 10.2.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(- 2 x^{\frac{1}{2} + 1})}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

Schritt 10.2.1.1.3

Schreibe

$1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${(- 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}})}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

Schritt 10.2.1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(- 2 x^{\frac{1 + 2}{2}})}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

Schritt 10.2.1.1.5

Addiere

$1$ und

$2$ .

${(- 2 x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

Schritt 10.2.1.2

Wende die Produktregel auf

$- 2 x^{\frac{3}{2}}$ an.

${(- 2)}^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

Schritt 10.2.1.3

Potenziere

$- 2$ mit

$2$ .

$4 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

Schritt 10.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 10.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

Schritt 10.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 10.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

Schritt 10.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{3} = {(25 - 27 x)}^{2}$

Schritt 10.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.1

Vereinfache

${(25 - 27 x)}^{2}$ .

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Schritt 10.3.1.1

Schreibe

${(25 - 27 x)}^{2}$ als

$(25 - 27 x) (25 - 27 x)$ um.

$4 x^{3} = (25 - 27 x) (25 - 27 x)$

Schritt 10.3.1.2

Multipliziere

$(25 - 27 x) (25 - 27 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{3} = 25 (25 - 27 x) - 27 x (25 - 27 x)$

Schritt 10.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{3} = 25 \cdot 25 + 25 (- 27 x) - 27 x (25 - 27 x)$

Schritt 10.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{3} = 25 \cdot 25 + 25 (- 27 x) - 27 x \cdot 25 - 27 x (- 27 x)$

Schritt 10.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 10.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.3.1.3.1.1

Mutltipliziere

$25$ mit

$25$ .

$4 x^{3} = 625 + 25 (- 27 x) - 27 x \cdot 25 - 27 x (- 27 x)$

Schritt 10.3.1.3.1.2

Mutltipliziere

$- 27$ mit

$25$ .

$4 x^{3} = 625 - 675 x - 27 x \cdot 25 - 27 x (- 27 x)$

Schritt 10.3.1.3.1.3

Mutltipliziere

$25$ mit

$- 27$ .

$4 x^{3} = 625 - 675 x - 675 x - 27 x (- 27 x)$

Schritt 10.3.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{3} = 625 - 675 x - 675 x - 27 \cdot - 27 x \cdot x$

Schritt 10.3.1.3.1.5

Multipliziere

$x$ mit

$x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.3.1.3.1.5.1

Bewege

$x$ .

$4 x^{3} = 625 - 675 x - 675 x - 27 \cdot - 27 (x \cdot x)$

Schritt 10.3.1.3.1.5.2

Mutltipliziere

$x$ mit

$x$ .

$4 x^{3} = 625 - 675 x - 675 x - 27 \cdot - 27 x^{2}$

Schritt 10.3.1.3.1.6

Mutltipliziere

$- 27$ mit

$- 27$ .

$4 x^{3} = 625 - 675 x - 675 x + 729 x^{2}$

Schritt 10.3.1.3.2

Subtrahiere

$675 x$ von

$- 675 x$ .

$4 x^{3} = 625 - 1350 x + 729 x^{2}$

Schritt 11

Löse nach

$x$ auf.

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Schritt 11.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 11.1.1

Subtrahiere

$625$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} - 625 = - 1350 x + 729 x^{2}$

Schritt 11.1.2

Addiere

$1350 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} - 625 + 1350 x = 729 x^{2}$

Schritt 11.1.3

Subtrahiere

$729 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} - 625 + 1350 x - 729 x^{2} = 0$

Schritt 11.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 11.2.1

Stelle die Terme um.

$4 x^{3} - 729 x^{2} + 1350 x - 625 = 0$

Schritt 11.2.2

Faktorisiere

$4 x^{3} - 729 x^{2} + 1350 x - 625$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 11.2.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form

$\frac{p}{q}$ , wobei

$p$ ein Teiler der Konstanten und

$q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 625, \pm 5, \pm 125, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 11.2.2.2

Ermittle jede Kombination von

$\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 625, \pm 156.25, \pm 312.5, \pm 5, \pm 1.25, \pm 2.5, \pm 125, \pm 31.25, \pm 62.5, \pm 25, \pm 6.25, \pm 12.5$

Schritt 11.2.2.3

Setze

$1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich

$0$ , folglich ist

$1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 11.2.2.3.1

Setze

$1$ in das Polynom ein.

$4 \cdot 1^{3} - 729 \cdot 1^{2} + 1350 \cdot 1 - 625$

Schritt 11.2.2.3.2

Potenziere

$1$ mit

$3$ .

$4 \cdot 1 - 729 \cdot 1^{2} + 1350 \cdot 1 - 625$

Schritt 11.2.2.3.3

Mutltipliziere

$4$ mit

$1$ .

$4 - 729 \cdot 1^{2} + 1350 \cdot 1 - 625$

Schritt 11.2.2.3.4

Potenziere

$1$ mit

$2$ .

$4 - 729 \cdot 1 + 1350 \cdot 1 - 625$

Schritt 11.2.2.3.5

Mutltipliziere

$- 729$ mit

$1$ .

$4 - 729 + 1350 \cdot 1 - 625$

Schritt 11.2.2.3.6

Subtrahiere

$729$ von

$4$ .

$- 725 + 1350 \cdot 1 - 625$

Schritt 11.2.2.3.7

Mutltipliziere

$1350$ mit

$1$ .

$- 725 + 1350 - 625$

Schritt 11.2.2.3.8

Addiere

$- 725$ und

$1350$ .

$625 - 625$

Schritt 11.2.2.3.9

Subtrahiere

$625$ von

$625$ .

$0$

Schritt 11.2.2.4

$1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch

$x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{4 x^{3} - 729 x^{2} + 1350 x - 625}{x - 1}$

Schritt 11.2.2.5

Dividiere

$4 x^{3} - 729 x^{2} + 1350 x - 625$ durch

$x - 1$ .

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Schritt 11.2.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert

$0$ .

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$729 x^{2}$

$1350 x$

$625$

Schritt 11.2.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

$4 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

$x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$

Schritt 11.2.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Schritt 11.2.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

$4 x^{3} - 4 x^{2}$

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Schritt 11.2.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$

Schritt 11.2.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$

Schritt 11.2.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

$- 725 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

$x$ .

				$4 x^{2}$	-	$725 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$

Schritt 11.2.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$	-	$725 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$
					-	$725 x^{2}$	+	$725 x$

Schritt 11.2.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

$- 725 x^{2} + 725 x$

				$4 x^{2}$	-	$725 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$
					+	$725 x^{2}$	-	$725 x$

Schritt 11.2.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$	-	$725 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$
					+	$725 x^{2}$	-	$725 x$
							+	$625 x$

Schritt 11.2.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$4 x^{2}$	-	$725 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$
					+	$725 x^{2}$	-	$725 x$
							+	$625 x$	-	$625$

Schritt 11.2.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

$625 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

$x$ .

				$4 x^{2}$	-	$725 x$	+	$625$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$
					+	$725 x^{2}$	-	$725 x$
							+	$625 x$	-	$625$

Schritt 11.2.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$	-	$725 x$	+	$625$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$
					+	$725 x^{2}$	-	$725 x$
							+	$625 x$	-	$625$
							+	$625 x$	-	$625$

Schritt 11.2.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

$625 x - 625$

				$4 x^{2}$	-	$725 x$	+	$625$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$
					+	$725 x^{2}$	-	$725 x$
							+	$625 x$	-	$625$
							-	$625 x$	+	$625$

Schritt 11.2.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$	-	$725 x$	+	$625$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$
					+	$725 x^{2}$	-	$725 x$
							+	$625 x$	-	$625$
							-	$625 x$	+	$625$
										$0$

Schritt 11.2.2.5.16

Da der Rest gleich

$0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$4 x^{2} - 725 x + 625$

Schritt 11.2.2.6

Schreibe

$4 x^{3} - 729 x^{2} + 1350 x - 625$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 1) (4 x^{2} - 725 x + 625) = 0$

Schritt 11.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

$0$ .

$x - 1 = 0$

$4 x^{2} - 725 x + 625 = 0$

Schritt 11.4

Setze

$x - 1$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

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Schritt 11.4.1

Setze

$x - 1$ gleich

$0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 11.4.2

Addiere

$1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 11.5

Setze

$4 x^{2} - 725 x + 625$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.5.1

Setze

$4 x^{2} - 725 x + 625$ gleich

$0$ .

$4 x^{2} - 725 x + 625 = 0$

Schritt 11.5.2

Löse

$4 x^{2} - 725 x + 625 = 0$ nach

$x$ auf.

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Schritt 11.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 11.5.2.2

Setze die Werte

$a = 4$ ,

$b = - 725$ und

$c = 625$ in die Quadratformel ein und löse nach

$x$ auf.

$\frac{725 \pm \sqrt{{(- 725)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 625)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 11.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 11.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.5.2.3.1.1

Potenziere

$- 725$ mit

$2$ .

$x = \frac{725 \pm \sqrt{525625 - 4 \cdot 4 \cdot 625}}{2 \cdot 4}$

Schritt 11.5.2.3.1.2

Multipliziere

$- 4 \cdot 4 \cdot 625$ .

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Schritt 11.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$4$ .

$x = \frac{725 \pm \sqrt{525625 - 16 \cdot 625}}{2 \cdot 4}$

Schritt 11.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere

$- 16$ mit

$625$ .

$x = \frac{725 \pm \sqrt{525625 - 10000}}{2 \cdot 4}$

Schritt 11.5.2.3.1.3

Subtrahiere

$10000$ von

$525625$ .

$x = \frac{725 \pm \sqrt{515625}}{2 \cdot 4}$

Schritt 11.5.2.3.1.4

Schreibe

$515625$ als

$125^{2} \cdot 33$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.5.2.3.1.4.1

Faktorisiere

$15625$ aus

$515625$ heraus.

$x = \frac{725 \pm \sqrt{15625 (33)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 11.5.2.3.1.4.2

Schreibe

$15625$ als

$125^{2}$ um.

$x = \frac{725 \pm \sqrt{125^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 4}$

Schritt 11.5.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{725 \pm 125 \sqrt{33}}{2 \cdot 4}$

Schritt 11.5.2.3.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$4$ .

$x = \frac{725 \pm 125 \sqrt{33}}{8}$

Schritt 11.5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{725 + 125 \sqrt{33}}{8}, \frac{725 - 125 \sqrt{33}}{8}$

Schritt 11.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$(x - 1) (4 x^{2} - 725 x + 625) = 0$ wahr machen.

$x = 1, \frac{725 + 125 \sqrt{33}}{8}, \frac{725 - 125 \sqrt{33}}{8}$

Schritt 12

Schließe die Lösungen aus, die

$\log (8 x) - \log (1 + \sqrt{x}) = 2$ nicht erfüllen.

$x = \frac{725 + 125 \sqrt{33}}{8}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{725 + 125 \sqrt{33}}{8}$

Dezimalform:

$x = 180.38379135 \dots$