Elementarmathematik Beispiele

x^{6} - 6 x^{3} + 9 = 0

$x^{6} - 6 x^{3} + 9 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe

$x^{6}$ als

${(x^{3})}^{2}$ um.

${(x^{3})}^{2} - 6 x^{3} + 9 = 0$

Schritt 1.2

Es sei

$u = x^{3}$ . Ersetze

$u$ für alle

$x^{3}$ .

$u^{2} - 6 u + 9 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.3.1

Schreibe

$9$ als

$3^{2}$ um.

$u^{2} - 6 u + 3^{2} = 0$

Schritt 1.3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Schritt 1.3.3

Schreibe das Polynom neu.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Schritt 1.3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei

$a = u$ und

$b = 3$ .

${(u - 3)}^{2} = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle

$u$ durch

$x^{3}$ .

${(x^{3} - 3)}^{2} = 0$

Schritt 2

Setze

$x^{3} - 3$ gleich

$0$ .

$x^{3} - 3 = 0$

Schritt 3

Löse nach

$x$ auf.

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Schritt 3.1

Addiere

$3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = 3$

Schritt 3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{3}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \sqrt[3]{3}$

Dezimalform:

$x = 1.44224957 \dots$