Elementarmathematik Beispiele

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 2) = \log_{2} (x + 6)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (x (x + 2)) = \log_{2} (x + 6)$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 2) = \log_{2} (x + 6)$

Schritt 1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot 2) = \log_{2} (x + 6)$

Schritt 1.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 2 x) = \log_{2} (x + 6)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{2} + 2 x = x + 6$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 2 x - x = 6$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$x^{2} + x = 6$

Schritt 3.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + x - 6 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $x^{2} + x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $1$ ist.

$- 2, 3$

Schritt 3.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 3.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 3.6

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 3$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 2) = \log_{2} (x + 6)$ nicht erfüllen.

$x = 2$