Elementarmathematik Beispiele

\log_{x} (125) = 3

$\log_{x} (125) = 3$

Schritt 1

Schreibe

\log_{x} (125) = 3

$\log_{x} (125) = 3$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn

x

$x$ und

b

$b$ positive reelle Zahlen sind und

b \neq 1

$b \neq 1$ ist, dann ist

\log_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ gleich

b^{y} = x

$b^{y} = x$ .

x^{3} = 125

$x^{3} = 125$

Schritt 2

Löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere

125

$125$ von beiden Seiten der Gleichung.

x^{3} - 125 = 0

$x^{3} - 125 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Schreibe

125

$125$ als

5^{3}

$5^{3}$ um.

x^{3} - 5^{3} = 0

$x^{3} - 5^{3} = 0$

Schritt 2.2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme,

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit

a = x

$a = x$ und

b = 5

$b = 5$ .

(x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2}) = 0

$(x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Bringe

5

$5$ auf die linke Seite von

x

$x$ .

(x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2}) = 0

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2}) = 0$

Schritt 2.2.3.2

Potenziere

5

$5$ mit

2

$2$ .

(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$

(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$

(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

x - 5 = 0

$x - 5 = 0$

x^{2} + 5 x + 25 = 0

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Schritt 2.4

Setze

x - 5

$x - 5$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze

x - 5

$x - 5$ gleich

0

$0$ .

x - 5 = 0

$x - 5 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere

5

$5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

x = 5

$x = 5$

x = 5

$x = 5$

Schritt 2.5

Setze

x^{2} + 5 x + 25

$x^{2} + 5 x + 25$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze

x^{2} + 5 x + 25

$x^{2} + 5 x + 25$ gleich

0

$0$ .

x^{2} + 5 x + 25 = 0

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse

x^{2} + 5 x + 25 = 0

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5.2.2

Setze die Werte

a = 1

$a = 1$ ,

b = 5

$b = 5$ und

c = 25

$c = 25$ in die Quadratformel ein und löse nach

x

$x$ auf.

\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.3.1.1

Potenziere

5

$5$ mit

2

$2$ .

x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.2

Multipliziere

- 4 \cdot 1 \cdot 25

$- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Schritt 2.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

1

$1$ .

x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

25

$25$ .

x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.3

Subtrahiere

100

$100$ von

25

$25$ .

x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.4

Schreibe

- 75

$- 75$ als

- 1 (75)

$- 1 (75)$ um.

x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.5

Schreibe

\sqrt{- 1 (75)}

$\sqrt{- 1 (75)}$ als

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ um.

x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.6

Schreibe

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ als

i

$i$ um.

x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.7

Schreibe

75

$75$ als

5^{2} \cdot 3

$5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.5.2.3.1.7.1

Faktorisiere

25

$25$ aus

75

$75$ heraus.

x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.7.2

Schreibe

25

$25$ als

5^{2}

$5^{2}$ um.

x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.9

Bringe

5

$5$ auf die linke Seite von

i

$i$ .

x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$ wahr machen.

x = 5, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}

$x = 5, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

x = 5, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}

$x = 5, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$