Elementarmathematik Beispiele

e^{2 x} - e^{x} - 30 = 0

$e^{2 x} - e^{x} - 30 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe

e^{2 x}

$e^{2 x}$ als

{(e^{x})}^{2}

${(e^{x})}^{2}$ um.

{(e^{x})}^{2} - e^{x} - 30 = 0

${(e^{x})}^{2} - e^{x} - 30 = 0$

Schritt 1.2

Es sei

u = e^{x}

$u = e^{x}$ . Ersetze

u

$u$ für alle

e^{x}

$e^{x}$ .

u^{2} - u - 30 = 0

$u^{2} - u - 30 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere

u^{2} - u - 30

$u^{2} - u - 30$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.1

Betrachte die Form

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt

c

$c$ und deren Summe

b

$b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt

- 30

$- 30$ und deren Summe

- 1

$- 1$ ist.

- 6, 5

$- 6, 5$

Schritt 1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

(u - 6) (u + 5) = 0

$(u - 6) (u + 5) = 0$

(u - 6) (u + 5) = 0

$(u - 6) (u + 5) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle

u

$u$ durch

e^{x}

$e^{x}$ .

(e^{x} - 6) (e^{x} + 5) = 0

$(e^{x} - 6) (e^{x} + 5) = 0$

(e^{x} - 6) (e^{x} + 5) = 0

$(e^{x} - 6) (e^{x} + 5) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

e^{x} - 6 = 0

$e^{x} - 6 = 0$

e^{x} + 5 = 0

$e^{x} + 5 = 0$

Schritt 3

Setze

e^{x} - 6

$e^{x} - 6$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze

e^{x} - 6

$e^{x} - 6$ gleich

0

$0$ .

e^{x} - 6 = 0

$e^{x} - 6 = 0$

Schritt 3.2

Löse

e^{x} - 6 = 0

$e^{x} - 6 = 0$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere

6

$6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

e^{x} = 6

$e^{x} = 6$

Schritt 3.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

\ln (e^{x}) = \ln (6)

$\ln (e^{x}) = \ln (6)$

Schritt 3.2.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.2.3.1

Zerlege

\ln (e^{x})

$\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von

x

$x$ aus dem Logarithmus.

x \ln (e) = \ln (6)

$x \ln (e) = \ln (6)$

Schritt 3.2.3.2

Der natürliche Logarithmus von

e

$e$ ist

1

$1$ .

x \cdot 1 = \ln (6)

$x \cdot 1 = \ln (6)$

Schritt 3.2.3.3

Mutltipliziere

x

$x$ mit

1

$1$ .

x = \ln (6)

$x = \ln (6)$

x = \ln (6)

$x = \ln (6)$

x = \ln (6)

$x = \ln (6)$

x = \ln (6)

$x = \ln (6)$

Schritt 4

Setze

e^{x} + 5

$e^{x} + 5$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze

e^{x} + 5

$e^{x} + 5$ gleich

0

$0$ .

e^{x} + 5 = 0

$e^{x} + 5 = 0$

Schritt 4.2

Löse

e^{x} + 5 = 0

$e^{x} + 5 = 0$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere

5

$5$ von beiden Seiten der Gleichung.

e^{x} = - 5

$e^{x} = - 5$

Schritt 4.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

\ln (e^{x}) = \ln (- 5)

$\ln (e^{x}) = \ln (- 5)$

Schritt 4.2.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da

\ln (- 5)

$\ln (- 5)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 4.2.4

Es gibt keine Lösung für

e^{x} = - 5

$e^{x} = - 5$

Keine Lösung

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

(e^{x} - 6) (e^{x} + 5) = 0

$(e^{x} - 6) (e^{x} + 5) = 0$ wahr machen.

x = \ln (6)

$x = \ln (6)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

x = \ln (6)

$x = \ln (6)$

Dezimalform:

x = 1.79175946 \dots

$x = 1.79175946 \dots$