Elementarmathematik Beispiele

\frac{1}{x^{2} + 3 x + 2} - \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 2} - \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere

x^{2} + 3 x + 2

$x^{2} + 3 x + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.1

Betrachte die Form

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt

c

$c$ und deren Summe

b

$b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt

2

$2$ und deren Summe

3

$3$ ist.

1, 2

$1, 2$

Schritt 1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$

\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$

Schritt 1.2

Faktorisiere

x^{2} - 2 x - 3

$x^{2} - 2 x - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt

c

$c$ und deren Summe

b

$b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt

- 3

$- 3$ und deren Summe

- 2

$- 2$ ist.

- 3, 1

$- 3, 1$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x - 3) (x + 1)}

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x - 3) (x + 1)}$

\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x - 3) (x + 1)}

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x - 3) (x + 1)}$

\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x - 3) (x + 1)}

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x - 3) (x + 1)}$

Schritt 2

\frac{1}{(x + 1) (x + 2)}

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{x - 3}{x - 3}

$\frac{x - 3}{x - 3}$ .

\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{(x - 3) (x + 1)}

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{(x - 3) (x + 1)}$

Schritt 3

- \frac{1}{(x - 3) (x + 1)}

$- \frac{1}{(x - 3) (x + 1)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{x + 2}{x + 2}

$\frac{x + 2}{x + 2}$ .

\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von

(x + 1) (x + 2) (x - 3)

$(x + 1) (x + 2) (x - 3)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von

1

$1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere

\frac{1}{(x + 1) (x + 2)}

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ mit

\frac{x - 3}{x - 3}

$\frac{x - 3}{x - 3}$ .

\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)} - \frac{1}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)} - \frac{1}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere

\frac{1}{(x - 3) (x + 1)}

$\frac{1}{(x - 3) (x + 1)}$ mit

\frac{x + 2}{x + 2}

$\frac{x + 2}{x + 2}$ .

\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)} - \frac{x + 2}{(x - 3) (x + 1) (x + 2)}

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)} - \frac{x + 2}{(x - 3) (x + 1) (x + 2)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von

(x - 3) (x + 1) (x + 2)

$(x - 3) (x + 1) (x + 2)$ um.

\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)} - \frac{x + 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)} - \frac{x + 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)} - \frac{x + 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)} - \frac{x + 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

\frac{x - 3 - (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}

$\frac{x - 3 - (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{x - 3 - x - 1 \cdot 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}

$\frac{x - 3 - x - 1 \cdot 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

\frac{x - 3 - x - 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}

$\frac{x - 3 - x - 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

Schritt 6.3

Subtrahiere

x

$x$ von

x

$x$ .

\frac{0 - 3 - 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}

$\frac{0 - 3 - 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

Schritt 6.4

Subtrahiere

3

$3$ von

0

$0$ .

\frac{- 3 - 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}

$\frac{- 3 - 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

Schritt 6.5

Subtrahiere

2

$2$ von

- 3

$- 3$ .

\frac{- 5}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}

$\frac{- 5}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

\frac{- 5}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}

$\frac{- 5}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

- \frac{5}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}

$- \frac{5}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$