Elementarmathematik Beispiele

{log}_{5} (x - 5) + {log}_{5} (x + 15) = 3

$\log_{5} (x - 5) + \log_{5} (x + 15) = 3$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an,

{log}_{b} (x) + {log}_{b} (y) = {log}_{b} (x y)

$\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

{log}_{5} ((x - 5) (x + 15)) = 3

$\log_{5} ((x - 5) (x + 15)) = 3$

Schritt 1.2

Multipliziere

(x - 5) (x + 15)

$(x - 5) (x + 15)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

{log}_{5} (x (x + 15) - 5 (x + 15)) = 3

$\log_{5} (x (x + 15) - 5 (x + 15)) = 3$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

{log}_{5} (x \cdot x + x \cdot 15 - 5 (x + 15)) = 3

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 15 - 5 (x + 15)) = 3$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

{log}_{5} (x \cdot x + x \cdot 15 - 5 x - 5 \cdot 15) = 3

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 15 - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

{log}_{5} (x \cdot x + x \cdot 15 - 5 x - 5 \cdot 15) = 3

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 15 - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere

x

$x$ mit

x

$x$ .

{log}_{5} (x^{2} + x \cdot 15 - 5 x - 5 \cdot 15) = 3

$\log_{5} (x^{2} + x \cdot 15 - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

Schritt 1.3.1.2

Bringe

15

$15$ auf die linke Seite von

x

$x$ .

{log}_{5} (x^{2} + 15 \cdot x - 5 x - 5 \cdot 15) = 3

$\log_{5} (x^{2} + 15 \cdot x - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere

- 5

$- 5$ mit

15

$15$ .

{log}_{5} (x^{2} + 15 x - 5 x - 75) = 3

$\log_{5} (x^{2} + 15 x - 5 x - 75) = 3$

{log}_{5} (x^{2} + 15 x - 5 x - 75) = 3

$\log_{5} (x^{2} + 15 x - 5 x - 75) = 3$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere

5 x

$5 x$ von

15 x

$15 x$ .

{log}_{5} (x^{2} + 10 x - 75) = 3

$\log_{5} (x^{2} + 10 x - 75) = 3$

{log}_{5} (x^{2} + 10 x - 75) = 3

$\log_{5} (x^{2} + 10 x - 75) = 3$

{log}_{5} (x^{2} + 10 x - 75) = 3

$\log_{5} (x^{2} + 10 x - 75) = 3$

Schritt 2

Schreibe

{log}_{5} (x^{2} + 10 x - 75) = 3

$\log_{5} (x^{2} + 10 x - 75) = 3$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn

x

$x$ und

b

$b$ positive reelle Zahlen sind und

b \neq 1

$b \neq 1$ ist, dann ist

{log}_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ gleich

b^{y} = x

$b^{y} = x$ .

5^{3} = x^{2} + 10 x - 75

$5^{3} = x^{2} + 10 x - 75$

Schritt 3

Löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als

x^{2} + 10 x - 75 = 5^{3}

$x^{2} + 10 x - 75 = 5^{3}$ um.

x^{2} + 10 x - 75 = 5^{3}

$x^{2} + 10 x - 75 = 5^{3}$

Schritt 3.2

Potenziere

5

$5$ mit

3

$3$ .

x^{2} + 10 x - 75 = 125

$x^{2} + 10 x - 75 = 125$

Schritt 3.3

Subtrahiere

125

$125$ von beiden Seiten der Gleichung.

x^{2} + 10 x - 75 - 125 = 0

$x^{2} + 10 x - 75 - 125 = 0$

Schritt 3.4

Subtrahiere

125

$125$ von

- 75

$- 75$ .

x^{2} + 10 x - 200 = 0

$x^{2} + 10 x - 200 = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere

x^{2} + 10 x - 200

$x^{2} + 10 x - 200$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.5.1

Betrachte die Form

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt

c

$c$ und deren Summe

b

$b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt

- 200

$- 200$ und deren Summe

10

$10$ ist.

- 10, 20

$- 10, 20$

Schritt 3.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

(x - 10) (x + 20) = 0

$(x - 10) (x + 20) = 0$

(x - 10) (x + 20) = 0

$(x - 10) (x + 20) = 0$

Schritt 3.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

x - 10 = 0

$x - 10 = 0$

x + 20 = 0

$x + 20 = 0$

Schritt 3.7

Setze

x - 10

$x - 10$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze

x - 10

$x - 10$ gleich

0

$0$ .

x - 10 = 0

$x - 10 = 0$

Schritt 3.7.2

Addiere

10

$10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

x = 10

$x = 10$

x = 10

$x = 10$

Schritt 3.8

Setze

x + 20

$x + 20$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.8.1

Setze

x + 20

$x + 20$ gleich

0

$0$ .

x + 20 = 0

$x + 20 = 0$

Schritt 3.8.2

Subtrahiere

20

$20$ von beiden Seiten der Gleichung.

x = - 20

$x = - 20$

x = - 20

$x = - 20$

Schritt 3.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

(x - 10) (x + 20) = 0

$(x - 10) (x + 20) = 0$ wahr machen.

x = 10, - 20

$x = 10, - 20$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die

$\log_{5} (x - 5) + \log_{5} (x + 15) = 3$ nicht erfüllen.

$x = 10$