Elementarmathematik Beispiele

$\log_{5} (x - 5) + \log_{5} (x + 15) = 3$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x - 5) (x + 15)) = 3$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x - 5) (x + 15)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{5} (x (x + 15) - 5 (x + 15)) = 3$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 15 - 5 (x + 15)) = 3$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 15 - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + x \cdot 15 - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $15$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 15 \cdot x - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $15$ .

$\log_{5} (x^{2} + 15 x - 5 x - 75) = 3$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $5 x$ von $15 x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 10 x - 75) = 3$

Schritt 2

Schreibe $\log_{5} (x^{2} + 10 x - 75) = 3$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$5^{3} = x^{2} + 10 x - 75$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} + 10 x - 75 = 5^{3}$ um.

$x^{2} + 10 x - 75 = 5^{3}$

Schritt 3.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$x^{2} + 10 x - 75 = 125$

Schritt 3.3

Subtrahiere $125$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 10 x - 75 - 125 = 0$

Schritt 3.4

Subtrahiere $125$ von $- 75$ .

$x^{2} + 10 x - 200 = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $x^{2} + 10 x - 200$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 200$ und deren Summe $10$ ist.

$- 10, 20$

Schritt 3.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 10) (x + 20) = 0$

Schritt 3.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 20 = 0$

Schritt 3.7

Setze $x - 10$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x - 10$ gleich $0$ .

$x - 10 = 0$

Schritt 3.7.2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 10$

Schritt 3.8

Setze $x + 20$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.8.1

Setze $x + 20$ gleich $0$ .

$x + 20 = 0$

Schritt 3.8.2

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 20$

Schritt 3.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 10) (x + 20) = 0$ wahr machen.

$x = 10, - 20$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{5} (x - 5) + \log_{5} (x + 15) = 3$ nicht erfüllen.

$x = 10$