Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \log_{7} (x^{2} - 9)$

Schritt 1

Setze das Argument in $\log_{7} (x^{2} - 9)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x^{2} - 9 > 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Addiere $9$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} > 9$

Schritt 2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{9}$

Schritt 2.3

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | > \sqrt{9}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache $\sqrt{9}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$| x | > \sqrt{3^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | > | 3 |$

Schritt 2.3.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$| x | > 3$

Schritt 2.4

Schreibe $| x | > 3$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x > 3$

Schritt 2.4.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 2.4.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x > 3$

Schritt 2.4.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x > 3 & x \geq 0 \\ - x > 3 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 2.5

Bestimme die Schnittmenge von $x > 3$ und $x \geq 0$ .

$x > 3$

Schritt 2.6

Teile jeden Ausdruck in $- x > 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Teile jeden Term in $- x > 3$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{3}{- 1}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} < \frac{3}{- 1}$

Schritt 2.6.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{3}{- 1}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.3.1

Dividiere $3$ durch $- 1$ .

$x < - 3$

Schritt 2.7

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < - 3$ oder $x > 3$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3) \cup (3, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x < - 3, x > 3}$

Schritt 4