Elementarmathematik Beispiele

$\frac{2}{1 + i} - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{2}{1 + 1 i}$ mit der Konjugierten von $1 + 1 i$ , um den Nenner reell zu machen.

$\frac{2}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1.2

Multipliziere.

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Schritt 1.2.1

Kombinieren.

$\frac{2 (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 + 2 (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 - 2 i}{(1 + 1 i) (1 - i)} - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.3.1

Multipliziere $(1 + 1 i) (1 - i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 - 2 i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)} - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 - 2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)} - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 - 2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)} - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - i i} - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.2.5

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)} - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.2.6

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})} - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}} - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}} - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.2.9

Addiere $- 1 i$ und $1 i$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 + 0 - i^{2}} - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.2.10

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 - i^{2}} - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.3.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{2 - 2 i}{1 - - 1} - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 + 1} - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 - 2 i}{2} - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 - 2 i$ und $2$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1 - 2 i}{2} - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 i$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- i)}{2} - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- i)$ heraus.

$\frac{2 (1 - i)}{2} - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1 - i)}{2 (1)} - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (1 - i)}{2 \cdot 1} - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - i}{1} - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1.3.4.4

Dividiere $1 - i$ durch $1$ .

$1 - i - \frac{3}{1 - i}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{3}{1 - i}$ mit der Konjugierten von $1 - i$ , um den Nenner reell zu machen.

$1 - i - (\frac{3}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i})$

Schritt 1.5

Multipliziere.

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Schritt 1.5.1

Kombinieren.

$1 - i - \frac{3 (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - i - \frac{3 \cdot 1 + 3 i}{(1 - i) (1 + i)}$

Schritt 1.5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{(1 - i) (1 + i)}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.3.1

Multipliziere $(1 - i) (1 + i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 (1 + i) - i (1 + i)}$

Schritt 1.5.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 \cdot 1 + 1 i - i (1 + i)}$

Schritt 1.5.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 \cdot 1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.5.3.2.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}$

Schritt 1.5.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 + 1 i - i - i i}$

Schritt 1.5.3.2.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i)}$

Schritt 1.5.3.2.4

Potenziere $i$ mit $1$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i^{1})}$

Schritt 1.5.3.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 + 1 i - i - i^{1 + 1}}$

Schritt 1.5.3.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 + 1 i - i - i^{2}}$

Schritt 1.5.3.2.7

Subtrahiere $i$ von $1 i$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 + 0 - i^{2}}$

Schritt 1.5.3.2.8

Addiere $1$ und $0$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 - i^{2}}$

Schritt 1.5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.3.3.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 - - 1}$

Schritt 1.5.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 + 1}$

Schritt 1.5.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{2}$

Schritt 1.6

Zerlege den Bruch $\frac{3 + 3 i}{2}$ in zwei Brüche.

$1 - i - (\frac{3}{2} + \frac{3 i}{2})$

Schritt 1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - i - \frac{3}{2} - \frac{3 i}{2}$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{2} - \frac{3}{2} - i - \frac{3 i}{2}$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 - 3}{2} - i - \frac{3 i}{2}$

Schritt 2.3

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{- 1}{2} - i - \frac{3 i}{2}$

Schritt 2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} - i - \frac{3 i}{2}$

Schritt 3

Um $- i$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} - i \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 i}{2}$

Schritt 4

Kombiniere $- i$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{- i \cdot 2}{2} - \frac{3 i}{2}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} + \frac{- 5 i}{2}$

Schritt 5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} - \frac{5 i}{2}$