Elementarmathematik Beispiele

$7^{\frac{x}{2}} = 5^{1 - x}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (7^{\frac{x}{2}}) = \ln (5^{1 - x})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (7^{\frac{x}{2}})$ durch Herausziehen von $\frac{x}{2}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{x}{2} \ln (7) = \ln (5^{1 - x})$

Schritt 3

Kombiniere $\frac{x}{2}$ und $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{2} = \ln (5^{1 - x})$

Schritt 4

Zerlege $\ln (5^{1 - x})$ durch Herausziehen von $1 - x$ aus dem Logarithmus.

$\frac{x \ln (7)}{2} = (1 - x) \ln (5)$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{x \ln (7)}{2} \cdot 2 = (1 - x) \ln (5) \cdot 2$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (7)}{2} \cdot 2 = (1 - x) \ln (5) \cdot 2$

Schritt 5.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x \ln (7) = (1 - x) \ln (5) \cdot 2$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $(1 - x) \ln (5) \cdot 2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (7) = (1 \ln (5) - x \ln (5)) \cdot 2$

Schritt 5.2.2.1.2

Mutltipliziere $\ln (5)$ mit $1$ .

$x \ln (7) = (\ln (5) - x \ln (5)) \cdot 2$

Schritt 5.2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (7) = \ln (5) \cdot 2 - x \ln (5) \cdot 2$

Schritt 5.2.2.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.2.1.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (5)$ .

$x \ln (7) = 2 \cdot \ln (5) - x \ln (5) \cdot 2$

Schritt 5.2.2.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x \ln (7) = 2 \cdot \ln (5) - 2 x \ln (5)$

Schritt 5.2.2.1.4.3

Stelle $2 \ln (5)$ und $- 2 x \ln (5)$ um.

$x \ln (7) = - 2 x \ln (5) + 2 \ln (5)$

Schritt 5.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Addiere $2 x \ln (5)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (7) + 2 x \ln (5) = 2 \ln (5)$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (7) + 2 x \ln (5)$ heraus.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (7)$ heraus.

$x (\ln (7)) + 2 x \ln (5) = 2 \ln (5)$

Schritt 5.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x \ln (5)$ heraus.

$x (\ln (7)) + x (2 \ln (5)) = 2 \ln (5)$

Schritt 5.3.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (7)) + x (2 \ln (5))$ heraus.

$x (\ln (7) + 2 \ln (5)) = 2 \ln (5)$

Schritt 5.3.3

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (7) + 2 \ln (5)) = 2 \ln (5)$ durch $\ln (7) + 2 \ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (7) + 2 \ln (5)) = 2 \ln (5)$ durch $\ln (7) + 2 \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (7) + 2 \ln (5))}{\ln (7) + 2 \ln (5)} = \frac{2 \ln (5)}{\ln (7) + 2 \ln (5)}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (7) + 2 \ln (5)$ .

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Schritt 5.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (7) + 2 \ln (5))}{\ln (7) + 2 \ln (5)} = \frac{2 \ln (5)}{\ln (7) + 2 \ln (5)}$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2 \ln (5)}{\ln (7) + 2 \ln (5)}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{2 \ln (5)}{\ln (7) + 2 \ln (5)}$

Dezimalform:

$x = 0.62323508 \dots$