Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x + 5}{x - 2} = \frac{5}{x + 2} + \frac{28}{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Faktorisiere jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{x + 5}{x - 2} = \frac{5}{x + 2} + \frac{28}{x^{2} - 2^{2}}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{x + 5}{x - 2} = \frac{5}{x + 2} + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x - 2, x + 2, (x + 2) (x - 2)$

Schritt 2.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.4

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 2.5

Der Teiler von $x - 2$ ist $x - 2$ selbst.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.6

Der Teiler von $x + 2$ ist $x + 2$ selbst.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.7

Der Teiler von $x - 2$ ist $x - 2$ selbst.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.8

Das kgV von $x - 2, x + 2, x + 2, x - 2$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(x - 2) (x + 2)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{x + 5}{x - 2} = \frac{5}{x + 2} + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)}$ mit $(x - 2) (x + 2)$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x + 5}{x - 2} = \frac{5}{x + 2} + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)}$ mit $(x - 2) (x + 2)$ .

$\frac{x + 5}{x - 2} ((x - 2) (x + 2)) = \frac{5}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 5}{x - 2} ((x - 2) (x + 2)) = \frac{5}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Schritt 3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$(x + 5) (x + 2) = \frac{5}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $(x + 5) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x + 2) + 5 (x + 2) = \frac{5}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Schritt 3.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 2 + 5 (x + 2) = \frac{5}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Schritt 3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2 = \frac{5}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Schritt 3.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2 = \frac{5}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Schritt 3.2.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 2 = \frac{5}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Schritt 3.2.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$x^{2} + 2 x + 5 x + 10 = \frac{5}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $2 x$ und $5 x$ .

$x^{2} + 7 x + 10 = \frac{5}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1.1

Faktorisiere $x + 2$ aus $(x - 2) (x + 2)$ heraus.

$x^{2} + 7 x + 10 = \frac{5}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + 7 x + 10 = \frac{5}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Schritt 3.3.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + 7 x + 10 = 5 (x - 2) + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Schritt 3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 7 x + 10 = 5 x + 5 \cdot - 2 + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$x^{2} + 7 x + 10 = 5 x - 10 + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Schritt 3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(x - 2) (x + 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.4.1

Faktorisiere $(x - 2) (x + 2)$ aus $(x + 2) (x - 2)$ heraus.

$x^{2} + 7 x + 10 = 5 x - 10 + \frac{28}{(x - 2) (x + 2) (1)} ((x - 2) (x + 2))$

Schritt 3.3.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + 7 x + 10 = 5 x - 10 + \frac{28}{(x - 2) (x + 2) \cdot 1} ((x - 2) (x + 2))$

Schritt 3.3.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + 7 x + 10 = 5 x - 10 + 28$

Schritt 3.3.2

Addiere $- 10$ und $28$ .

$x^{2} + 7 x + 10 = 5 x + 18$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 7 x + 10 - 5 x = 18$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $5 x$ von $7 x$ .

$x^{2} + 2 x + 10 = 18$

Schritt 4.2

Subtrahiere $18$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 2 x + 10 - 18 = 0$

Schritt 4.3

Subtrahiere $18$ von $10$ .

$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $2$ ist.

$- 2, 4$

Schritt 4.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 2) (x + 4) = 0$

Schritt 4.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 4.6

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 4.6.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4.7

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 4.7.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 4.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 4$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{x + 5}{x - 2} = \frac{5}{x + 2} + \frac{28}{x^{2} - 4}$ nicht erfüllen.

$x = - 4$