Elementarmathematik Beispiele

$4 \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1 = 0$

Schritt 1

Ersetze $\cos (x)$ durch $u$ .

$4 {(u)}^{2} - 4 u + 1 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1

Schreibe $4 u^{2}$ als ${(2 u)}^{2}$ um.

${(2 u)}^{2} - 4 u + 1 = 0$

Schritt 2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

${(2 u)}^{2} - 4 u + 1^{2} = 0$

Schritt 2.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

Schritt 2.4

Schreibe das Polynom neu.

${(2 u)}^{2} - 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 2 u$ und $b = 1$ .

${(2 u - 1)}^{2} = 0$

Schritt 3

Setze $2 u - 1$ gleich $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Schritt 4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 u = 1$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 u = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 u = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Schritt 5

Ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 6

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 7

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 8

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 9

Vereinfache $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 9.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 9.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 9.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 9.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 10

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 10.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 10.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 10.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 11

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$