Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x + 2}{x + 3} < \frac{x - 1}{x - 2}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{x - 1}{x - 2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{x - 1}{x - 2} < 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{x - 1}{x - 2}$ .

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Schritt 2.1

Um $\frac{x + 2}{x + 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x - 1}{x - 2} < 0$

Schritt 2.2

Um $- \frac{x - 1}{x - 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 3) (x - 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{x + 2}{x + 3}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{x - 1}{x - 2}$ mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 3)} < 0$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 2) (x + 3)$ um.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x + 2) (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere $(x + 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 2.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 2.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 2.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 2.5.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 2$ und $2 x$ neu an.

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$\frac{x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 2.5.2.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\frac{x \cdot x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 2.5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 2.5.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 4 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 2.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 4 + (- x - - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 2.5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 + (- x + 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 2.5.6

Multipliziere $(- x + 1) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 4 - x (x + 3) + 1 (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 2.5.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 3 + 1 (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 2.5.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 2.5.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.7.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.7.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - (x \cdot x) - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 2.5.7.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 2.5.7.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 2.5.7.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 2.5.7.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 2.5.7.2

Addiere $- 3 x$ und $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 2.5.8

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{0 - 4 - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 2.5.9

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$\frac{- 4 - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 2.5.10

Addiere $- 4$ und $3$ .

$\frac{- 2 x - 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{- (2 x) - 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 2.7

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (2 x + 1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 2.9

Schreibe $- (2 x + 1)$ als $- 1 (2 x + 1)$ um.

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$2 x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 6

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 7

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 8

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - \frac{1}{2}$

$x = - 3$

$x = 2$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - \frac{1}{2}, - 3, 2$

Schritt 10

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)}$ .

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Schritt 10.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 3) (x - 2) = 0$

Schritt 10.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 10.2.2

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.2.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 10.2.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 10.2.3

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.3.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 10.2.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 10.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 3) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, 2$

Schritt 10.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 2$

$x > 2$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 6) + 2}{(- 6) + 3} < \frac{(- 6) - 1}{(- 6) - 2}$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $1.\overline{3}$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0.875$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < - \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < - \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 12.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 2) + 2}{(- 2) + 3} < \frac{(- 2) - 1}{(- 2) - 2}$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $0.75$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.3

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{1}{2} < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{1}{2} < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 12.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) + 2}{(0) + 3} < \frac{(0) - 1}{(0) - 2}$

Schritt 12.3.3

Die linke Seite $0.\overline{6}$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 12.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(4) + 2}{(4) + 3} < \frac{(4) - 1}{(4) - 2}$

Schritt 12.4.3

Die linke Seite $0.\overline{857142}$ ist kleiner als die rechte Seite $1.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ Wahr

$- \frac{1}{2} < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ Wahr

$- \frac{1}{2} < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ oder $x > 2$

Schritt 14

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 3, - \frac{1}{2}) \cup (2, \infty)$

Schritt 15