Elementarmathematik Beispiele

$2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 1

Ersetze $\cos (x)$ durch $u$ .

$2 {(u)}^{2} - (u) - 1 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u$ heraus.

$2 u^{2} - u - 1 = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $- 1$ um als $1$ plus $- 2$

$2 u^{2} + (1 - 2) u - 1 = 0$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1 = 0$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (2 u + 1) - (2 u + 1) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (u - 1) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Schritt 4

Setze $2 u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $2 u + 1$ gleich $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $2 u + 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 u = - 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 u = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 u = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{1}{2}$

Schritt 5

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 u + 1) (u - 1) = 0$ wahr machen.

$u = - \frac{1}{2}, 1$

Schritt 7

Ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}, 1$

Schritt 8

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

$\cos (x) = 1$

Schritt 9

Löse in $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Schritt 9.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{1}{2})$ ist $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 9.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Schritt 9.4

Vereinfache $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Schritt 9.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 9.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 9.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Schritt 9.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Schritt 9.4.3.2

Subtrahiere $2 π$ von $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 9.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 9.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 9.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 9.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 9.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Löse in $\cos (x) = 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (1)$

Schritt 10.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 10.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 10.4

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 10.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 10.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 10.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 10.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 10.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$