Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{x} + \sqrt{2 x} = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $\sqrt{2 x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{x} = 1 - \sqrt{2 x}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x}}^{2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$x = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$ als $(1 - \sqrt{2 x}) (1 - \sqrt{2 x})$ um.

$x = (1 - \sqrt{2 x}) (1 - \sqrt{2 x})$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(1 - \sqrt{2 x}) (1 - \sqrt{2 x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 1 (1 - \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} (1 - \sqrt{2 x})$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} (1 - \sqrt{2 x})$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} \cdot 1 - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x = 1 + 1 (- \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} \cdot 1 - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $- \sqrt{2 x}$ mit $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} \cdot 1 - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Multipliziere $- \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + 1 \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{2 x}$ mit $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{2 x}$ mit $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1} \sqrt{2 x}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4

Potenziere $\sqrt{2 x}$ mit $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1} {\sqrt{2 x}}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{2 x}}^{2}$ als $2 x$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.5

Vereinfache.

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + 2 x$

Schritt 3.3.1.3.2

Subtrahiere $\sqrt{2 x}$ von $- \sqrt{2 x}$ .

$x = 1 - 2 \sqrt{2 x} + 2 x$

Schritt 4

Löse nach $- 2 \sqrt{2 x}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $1 - 2 \sqrt{2 x} + 2 x = x$ um.

$1 - 2 \sqrt{2 x} + 2 x = x$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $- 2 \sqrt{2 x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sqrt{2 x} + 2 x = x - 1$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sqrt{2 x} = x - 1 - 2 x$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$- 2 \sqrt{2 x} = - x - 1$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 2 \sqrt{2 x})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(- 2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

${(- 2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Multipliziere $- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.2.1.2.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

${(- (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2.2

Potenziere $2$ mit $1$ .

${(- (2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(- 2^{1 + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${(- 2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(- 2^{\frac{2 + 1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2.6

Addiere $2$ und $1$ .

${(- 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Produktregel auf $- 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2

Wende die Produktregel auf $- 2^{\frac{3}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{3} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.7

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.8

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$8 x^{1} = {(- x - 1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.9

Vereinfache.

$8 x = {(- x - 1)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache ${(- x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Schreibe ${(- x - 1)}^{2}$ als $(- x - 1) (- x - 1)$ um.

$8 x = (- x - 1) (- x - 1)$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $(- x - 1) (- x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x = - x (- x - 1) - 1 (- x - 1)$

Schritt 6.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x = - x (- x) - x \cdot - 1 - 1 (- x - 1)$

Schritt 6.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x = - x (- x) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 x = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Schritt 6.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$8 x = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Schritt 6.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$8 x = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Schritt 6.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$8 x = 1 x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Schritt 6.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$8 x = x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Schritt 6.3.1.3.1.5

Multipliziere $- x \cdot - 1$ .

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Schritt 6.3.1.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$8 x = x^{2} + 1 x - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Schritt 6.3.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$8 x = x^{2} + x - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Schritt 6.3.1.3.1.6

Multipliziere $- 1 (- x)$ .

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Schritt 6.3.1.3.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$8 x = x^{2} + x + 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 6.3.1.3.1.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$8 x = x^{2} + x + x - 1 \cdot - 1$

Schritt 6.3.1.3.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$8 x = x^{2} + x + x + 1$

Schritt 6.3.1.3.2

Addiere $x$ und $x$ .

$8 x = x^{2} + 2 x + 1$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + 2 x + 1 = 8 x$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 2 x + 1 - 8 x = 0$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $8 x$ von $2 x$ .

$x^{2} - 6 x + 1 = 0$

Schritt 7.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 6$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5

Vereinfache.

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Schritt 7.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.5.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 7.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 7.5.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.5.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Schritt 7.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 3 + 2 \sqrt{2}, 3 - 2 \sqrt{2}$

Schritt 8

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{x} + \sqrt{2 x} = 1$ nicht erfüllen.

$x = 3 - 2 \sqrt{2}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 3 - 2 \sqrt{2}$

Dezimalform:

$x = 0.17157287 \dots$