Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt[4]{x^{2} + 3 x}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt[4]{x^{2} + 3 x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 3 x \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} + 3 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 3 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x + 3 x = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$x \cdot x + x \cdot 3 = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 3$ heraus.

$x (x + 3) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 3$

Schritt 2.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$x > 0$

Schritt 2.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 2.8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 6)}^{2} + 3 (- 6) \geq 0$

Schritt 2.8.1.3

Die linke Seite $18$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 2.8.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 2)}^{2} + 3 (- 2) \geq 0$

Schritt 2.8.2.3

Die linke Seite $- 2$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 2.8.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(2)}^{2} + 3 (2) \geq 0$

Schritt 2.8.3.3

Die linke Seite $10$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

Schritt 2.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 3$ oder $x \geq 0$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3] \cup [0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - 3, x \geq 0}$

Schritt 4