Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{2 x + 1} + 1 = x$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{2 x + 1} = x - 1$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 x + 1}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x + 1}$ als ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 x + 1)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$2 x + 1 = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$2 x + 1 = (x - 1) (x - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 1 = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 1 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 1 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x + 1 = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x + 1 = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$2 x + 1 = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$2 x + 1 = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 x + 1 = x^{2} - x - x + 1$

Schritt 3.3.1.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$2 x + 1 = x^{2} - 2 x + 1$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - 2 x + 1 = 2 x + 1$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x + 1 - 2 x = 1$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$x^{2} - 4 x + 1 = 1$

Schritt 4.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 4 x + 1 - 1 = 0$

Schritt 4.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 4 x + 1 - 1$ .

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Schritt 4.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$x^{2} - 4 x + 0 = 0$

Schritt 4.4.2

Addiere $x^{2} - 4 x$ und $0$ .

$x^{2} - 4 x = 0$

Schritt 4.5

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 4 x$ heraus.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x - 4 x = 0$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$x \cdot x + x \cdot - 4 = 0$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 4$ heraus.

$x (x - 4) = 0$

Schritt 4.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 4.7

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.8

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.8.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 4.8.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 4.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 4$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{2 x + 1} + 1 = x$ nicht erfüllen.

$x = 4$