Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ als Gleichung.

$y = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{4^{y}}{1 + 4^{y}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} = x$ um.

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten mit $1 + 4^{y}$ .

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} (1 + 4^{y}) = x (1 + 4^{y})$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + 4^{y}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} (1 + 4^{y}) = x (1 + 4^{y})$

Schritt 3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4^{y} = x (1 + 4^{y})$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $x (1 + 4^{y})$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4^{y} = x \cdot 1 + x \cdot 4^{y}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$4^{y} = x + x \cdot 4^{y}$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Stelle $x$ und $4^{y}$ um.

$4^{y} = x + 4^{y} \cdot x$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Stelle die Faktoren in $x + 4^{y} x$ um.

$4^{y} = x + x \cdot 4^{y}$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $x \cdot 4^{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4^{y} - x \cdot 4^{y} = x$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $4^{y}$ aus $4^{y} - x \cdot 4^{y}$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$4^{y} \cdot 1 - x \cdot 4^{y} = x$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $4^{y}$ aus $- x \cdot 4^{y}$ heraus.

$4^{y} \cdot 1 + 4^{y} \cdot (- x) = x$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $4^{y}$ aus $4^{y} \cdot 1 + 4^{y} \cdot (- x)$ heraus.

$4^{y} (1 - x) = x$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $4^{y} (1 - x) = x$ durch $1 - x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $4^{y} (1 - x) = x$ durch $1 - x$ .

$\frac{4^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $4^{y}$ durch $1$ .

$4^{y} = \frac{x}{1 - x}$

Schritt 3.4.5

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (4^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

Schritt 3.4.6

Zerlege $\ln (4^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

Schritt 3.4.7

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$ durch $\ln (4)$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.7.1

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$ durch $\ln (4)$ .

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Schritt 3.4.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (4)$ .

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Schritt 3.4.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Schritt 3.4.7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{1 - (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}})})}{\ln (4)}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 4^{x}}{1 + 4^{x}} - \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 4^{x} - 4^{x}}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Schritt 5.2.3.3

Schreibe $\frac{1 + 4^{x} - 4^{x}}{1 + 4^{x}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.3.3.1

Subtrahiere $4^{x}$ von $4^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 0}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Schritt 5.2.3.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}} \cdot (1 + 4^{x}))}{\ln (4)}$

Schritt 5.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + 4^{x}$ .

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Schritt 5.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}} \cdot (1 + 4^{x}))}{\ln (4)}$

Schritt 5.2.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (4^{x})}{\ln (4)}$

Schritt 5.2.5

Zerlege $\ln (4^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (4)$ .

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Schritt 5.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

Schritt 5.2.6.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Nutze die Änderung der Basis-Regel $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{4^{\log_{4} (\frac{x}{1 - x})}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

Schritt 5.3.3.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Nutze die Änderung der Basis-Regel $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + 4^{\log_{4} (\frac{x}{1 - x})}}$

Schritt 5.3.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + \frac{x}{1 - x}}$

Schritt 5.3.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 - x}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}}$

Schritt 5.3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 - x + x}{1 - x}}$

Schritt 5.3.4.5

Schreibe $\frac{1 - x + x}{1 - x}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.4.5.1

Addiere $- x$ und $x$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 + 0}{1 - x}}$

Schritt 5.3.4.5.2

Addiere $1$ und $0$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1}{1 - x}}$

Schritt 5.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 5.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Schritt 5.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$