Elementarmathematik Beispiele

\sqrt{x^{2} - 9}

$\sqrt{x^{2} - 9}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in

\sqrt{x^{2} - 9}

$\sqrt{x^{2} - 9}$ größer als oder gleich

0

$0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

x^{2} - 9 \geq 0

$x^{2} - 9 \geq 0$

Schritt 2

Löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 2.1

Addiere

9

$9$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

x^{2} \geq 9

$x^{2} \geq 9$

Schritt 2.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{9}

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{9}$

Schritt 2.3

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

| x | \geq \sqrt{9}

$| x | \geq \sqrt{9}$

| x | \geq \sqrt{9}

$| x | \geq \sqrt{9}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache

\sqrt{9}

$\sqrt{9}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Schreibe

9

$9$ als

3^{2}

$3^{2}$ um.

| x | \geq \sqrt{3^{2}}

$| x | \geq \sqrt{3^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

| x | \geq | 3 |

$| x | \geq | 3 |$

Schritt 2.3.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

3

$3$ ist

3

$3$ .

| x | \geq 3

$| x | \geq 3$

| x | \geq 3

$| x | \geq 3$

| x | \geq 3

$| x | \geq 3$

| x | \geq 3

$| x | \geq 3$

Schritt 2.4

Schreibe

| x | \geq 3

$| x | \geq 3$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

x \geq 0

$x \geq 0$

Schritt 2.4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem

x

$x$ nicht negativ ist.

x \geq 3

$x \geq 3$

Schritt 2.4.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

x < 0

$x < 0$

Schritt 2.4.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit

- 1

$- 1$ in dem Teil, in dem

x

$x$ negativ ist.

- x \geq 3

$- x \geq 3$

Schritt 2.4.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

{\begin{cases} x \geq 3 & x \geq 0 \\ - x \geq 3 & x < 0 \end{cases}

${\begin{cases} x \geq 3 & x \geq 0 \\ - x \geq 3 & x < 0 \end{cases}$

{\begin{cases} x \geq 3 & x \geq 0 \\ - x \geq 3 & x < 0 \end{cases}

${\begin{cases} x \geq 3 & x \geq 0 \\ - x \geq 3 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 2.5

Bestimme die Schnittmenge von

x \geq 3

$x \geq 3$ und

x \geq 0

$x \geq 0$ .

x \geq 3

$x \geq 3$

Schritt 2.6

Teile jeden Ausdruck in

- x \geq 3

$- x \geq 3$ durch

- 1

$- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Teile jeden Term in

- x \geq 3

$- x \geq 3$ durch

- 1

$- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

\frac{- x}{- 1} \leq \frac{3}{- 1}

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{3}{- 1}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

\frac{x}{1} \leq \frac{3}{- 1}

$\frac{x}{1} \leq \frac{3}{- 1}$

Schritt 2.6.2.2

Dividiere

x

$x$ durch

1

$1$ .

x \leq \frac{3}{- 1}

$x \leq \frac{3}{- 1}$

x \leq \frac{3}{- 1}

$x \leq \frac{3}{- 1}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.3.1

Dividiere

3

$3$ durch

- 1

$- 1$ .

x \leq - 3

$x \leq - 3$

x \leq - 3

$x \leq - 3$

x \leq - 3

$x \leq - 3$

Schritt 2.7

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

x \leq - 3

$x \leq - 3$ oder

x \geq 3

$x \geq 3$

x \leq - 3

$x \leq - 3$ oder

x \geq 3

$x \geq 3$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von

x

$x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)

$(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

{x | x \leq - 3, x \geq 3}

${x | x \leq - 3, x \geq 3}$

Schritt 4