Elementarmathematik Beispiele

\sqrt{4 - x^{2}}

$\sqrt{4 - x^{2}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in

\sqrt{4 - x^{2}}

$\sqrt{4 - x^{2}}$ größer als oder gleich

0

$0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

4 - x^{2} \geq 0

$4 - x^{2} \geq 0$

Schritt 2

Löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere

4

$4$ von beiden Seiten der Ungleichung.

- x^{2} \geq - 4

$- x^{2} \geq - 4$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in

- x^{2} \geq - 4

$- x^{2} \geq - 4$ durch

- 1

$- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Term in

- x^{2} \geq - 4

$- x^{2} \geq - 4$ durch

- 1

$- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere

x^{2}

$x^{2}$ durch

1

$1$ .

x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere

- 4

$- 4$ durch

- 1

$- 1$ .

x^{2} \leq 4

$x^{2} \leq 4$

x^{2} \leq 4

$x^{2} \leq 4$

x^{2} \leq 4

$x^{2} \leq 4$

Schritt 2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}$

Schritt 2.4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

| x | \leq \sqrt{4}

$| x | \leq \sqrt{4}$

| x | \leq \sqrt{4}

$| x | \leq \sqrt{4}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache

\sqrt{4}

$\sqrt{4}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Schreibe

4

$4$ als

2^{2}

$2^{2}$ um.

| x | \leq \sqrt{2^{2}}

$| x | \leq \sqrt{2^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

| x | \leq | 2 |

$| x | \leq | 2 |$

Schritt 2.4.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

2

$2$ ist

2

$2$ .

| x | \leq 2

$| x | \leq 2$

| x | \leq 2

$| x | \leq 2$

| x | \leq 2

$| x | \leq 2$

| x | \leq 2

$| x | \leq 2$

Schritt 2.5

Schreibe

| x | \leq 2

$| x | \leq 2$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

x \geq 0

$x \geq 0$

Schritt 2.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem

x

$x$ nicht negativ ist.

x \leq 2

$x \leq 2$

Schritt 2.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

x < 0

$x < 0$

Schritt 2.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit

- 1

$- 1$ in dem Teil, in dem

x

$x$ negativ ist.

- x \leq 2

$- x \leq 2$

Schritt 2.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

{\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

{\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 2.6

Bestimme die Schnittmenge von

x \leq 2

$x \leq 2$ und

x \geq 0

$x \geq 0$ .

0 \leq x \leq 2

$0 \leq x \leq 2$

Schritt 2.7

Löse

- x \leq 2

$- x \leq 2$ , wenn

x < 0

$x < 0$ ergibt.

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Schritt 2.7.1

Teile jeden Ausdruck in

- x \leq 2

$- x \leq 2$ durch

- 1

$- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.7.1.1

Teile jeden Term in

- x \leq 2

$- x \leq 2$ durch

- 1

$- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}$

Schritt 2.7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}

$\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}$

Schritt 2.7.1.2.2

Dividiere

x

$x$ durch

1

$1$ .

x \geq \frac{2}{- 1}

$x \geq \frac{2}{- 1}$

x \geq \frac{2}{- 1}

$x \geq \frac{2}{- 1}$

Schritt 2.7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.7.1.3.1

Dividiere

2

$2$ durch

- 1

$- 1$ .

x \geq - 2

$x \geq - 2$

x \geq - 2

$x \geq - 2$

x \geq - 2

$x \geq - 2$

Schritt 2.7.2

Bestimme die Schnittmenge von

x \geq - 2

$x \geq - 2$ und

x < 0

$x < 0$ .

- 2 \leq x < 0

$- 2 \leq x < 0$

- 2 \leq x < 0

$- 2 \leq x < 0$

Schritt 2.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

- 2 \leq x \leq 2

$- 2 \leq x \leq 2$

- 2 \leq x \leq 2

$- 2 \leq x \leq 2$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von

x

$x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

[- 2, 2]

$[- 2, 2]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

{x | - 2 \leq x \leq 2}

${x | - 2 \leq x \leq 2}$

Schritt 4