Elementarmathematik Beispiele

x^{2} = 4 y

$x^{2} = 4 y$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere

y

$y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe die Gleichung als

4 y = x^{2}

$4 y = x^{2}$ um.

4 y = x^{2}

$4 y = x^{2}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in

4 y = x^{2}

$4 y = x^{2}$ durch

4

$4$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in

4 y = x^{2}

$4 y = x^{2}$ durch

4

$4$ .

\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4}

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

4

$4$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4}

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere

y

$y$ durch

1

$1$ .

y = \frac{x^{2}}{4}

$y = \frac{x^{2}}{4}$

y = \frac{x^{2}}{4}

$y = \frac{x^{2}}{4}$

y = \frac{x^{2}}{4}

$y = \frac{x^{2}}{4}$

y = \frac{x^{2}}{4}

$y = \frac{x^{2}}{4}$

y = \frac{x^{2}}{4}

$y = \frac{x^{2}}{4}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf

\frac{x^{2}}{4}

$\frac{x^{2}}{4}$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für

a

$a$ ,

b

$b$ und

c

$c$ zu ermitteln.

a = \frac{1}{4}

$a = \frac{1}{4}$

b = 0

$b = 0$

c = 0

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von

d

$d$ mithilfe der Formel

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von

a

$a$ und

b

$b$ in die Formel

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ ein.

d = \frac{0}{2 (\frac{1}{4})}

$d = \frac{0}{2 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

0

$0$ und

2

$2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

0

$0$ heraus.

d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{1}{4})}

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{1}{4})}

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

d = \frac{0}{\frac{1}{4}}

$d = \frac{0}{\frac{1}{4}}$

d = \frac{0}{\frac{1}{4}}

$d = \frac{0}{\frac{1}{4}}$

d = \frac{0}{\frac{1}{4}}

$d = \frac{0}{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.2.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

d = 0 \cdot 4

$d = 0 \cdot 4$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere

0

$0$ mit

4

$4$ .

d = 0

$d = 0$

d = 0

$d = 0$

d = 0

$d = 0$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von

e

$e$ mithilfe der Formel

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von

c

$c$ ,

b

$b$ , und

a

$a$ in die Formel

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{1}{4})}

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

0

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt

0

$0$ .

e = 0 - \frac{0}{4 (\frac{1}{4})}

$e = 0 - \frac{0}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kombiniere

4

$4$ und

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ .

e = 0 - \frac{0}{\frac{4}{4}}

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4}{4}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere

4

$4$ durch

4

$4$ .

e = 0 - \frac{0}{1}

$e = 0 - \frac{0}{1}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Dividiere

0

$0$ durch

1

$1$ .

e = 0 - 0

$e = 0 - 0$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

0

$0$ .

e = 0 + 0

$e = 0 + 0$

e = 0 + 0

$e = 0 + 0$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere

0

$0$ und

0

$0$ .

e = 0

$e = 0$

e = 0

$e = 0$

e = 0

$e = 0$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von

a

$a$ ,

d

$d$ und

e

$e$ in die Scheitelform

\frac{1}{4} x^{2}

$\frac{1}{4} x^{2}$ ein.

\frac{1}{4} x^{2}

$\frac{1}{4} x^{2}$

\frac{1}{4} x^{2}

$\frac{1}{4} x^{2}$

Schritt 1.3

Setze

y

$y$ gleich der neuen rechten Seite.

y = \frac{1}{4} x^{2}

$y = \frac{1}{4} x^{2}$

y = \frac{1}{4} x^{2}

$y = \frac{1}{4} x^{2}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform,

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von

a

$a$ ,

h

$h$ und

k

$k$ zu ermitteln.

a = \frac{1}{4}

$a = \frac{1}{4}$

h = 0

$h = 0$

k = 0

$k = 0$

Schritt 3

Da der Wert von

a

$a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt

(h, k)

$(h, k)$ .

(0, 0)

$(0, 0)$

Schritt 5

Berechne

p

$p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von

a

$a$ in die Formel ein.

\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kombiniere

4

$4$ und

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ .

\frac{1}{\frac{4}{4}}

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache durch Teilen von Zahlen.

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Schritt 5.3.2.1

Dividiere

4

$4$ durch

4

$4$ .

\frac{1}{1}

$\frac{1}{1}$

Schritt 5.3.2.2

Dividiere

1

$1$ durch

1

$1$ .

1

$1$

1

$1$

1

$1$

1

$1$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von

p

$p$ zur y-Koordinate

k

$k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

(h, k + p)

$(h, k + p)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von

h

$h$ ,

p

$p$ und

k

$k$ in die Formel ein und vereinfache.

(0, 1)

$(0, 1)$

(0, 1)

$(0, 1)$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

x = 0

$x = 0$

Schritt 8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von

p

$p$ von der y-Koordinate

k

$k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

y = k - p

$y = k - p$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte von

p

$p$ und

k

$k$ in die Formel ein und vereinfache.

y = - 1

$y = - 1$

y = - 1

$y = - 1$

Schritt 9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt:

(0, 0)

$(0, 0)$

Brennpunkt:

(0, 1)

$(0, 1)$

Symmetrieachse:

x = 0

$x = 0$

Leitlinie:

y = - 1

$y = - 1$

Schritt 10