Elementarmathematik Beispiele

$\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$

Step 1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Step 2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{1}{2})$ ist $\frac{2 π}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π}{3}$

Step 3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{2 π}{3}$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{2 π}{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{3}$

Step 4

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Step 5

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$2 x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Subtrahiere $2 π$ von $6 π$ .

$2 x = \frac{4 π}{3}$

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{4 π}{3}$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{4 π}{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $2$ aus $4 π$ heraus.

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2 π}{3}$

Step 6

Ermittele die Periode von $\cos (2 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Step 7

Die Periode der Funktion $\cos (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$