Elementarmathematik Beispiele

cos (2 x) = - \frac{1}{2}

$\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$

Step 1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

x

$x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

2 x = arccos (- \frac{1}{2})

$2 x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Step 2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Der genau Wert von

arccos (- \frac{1}{2})

$\arccos (- \frac{1}{2})$ ist

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$ .

2 x = \frac{2 π}{3}

$2 x = \frac{2 π}{3}$

2 x = \frac{2 π}{3}

$2 x = \frac{2 π}{3}$

Step 3

Teile jeden Ausdruck in

2 x = \frac{2 π}{3}

$2 x = \frac{2 π}{3}$ durch

2

$2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile jeden Ausdruck in

2 x = \frac{2 π}{3}

$2 x = \frac{2 π}{3}$ durch

2

$2$ .

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Dividiere

$x$ durch

$1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere

$2$ aus

$2 π$ heraus.

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{3}$

Step 4

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von

$2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Step 5

Löse nach

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

$2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{3}{3}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Kombiniere

$2 π$ und

$\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Mutltipliziere

$3$ mit

$2$ .

$2 x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Subtrahiere

$2 π$ von

$6 π$ .

$2 x = \frac{4 π}{3}$

Teile jeden Ausdruck in

$2 x = \frac{4 π}{3}$ durch

$2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile jeden Ausdruck in

$2 x = \frac{4 π}{3}$ durch

$2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Dividiere

$x$ durch

$1$ .

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere

$2$ aus

$4 π$ heraus.

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2 π}{3}$

Step 6

Ermittele die Periode von

$\cos (2 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Ersetze

$b$ durch

$2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

$0$ und

$2$ ist

$2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Dividiere

$π$ durch

$1$ .

$π$

Step 7

Die Periode der Funktion

$\cos (2 x)$ ist

$π$ , d. h., Werte werden sich alle

$π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl

$n$