Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{x + 4} + \sqrt{x - 1} = 5$

Schritt 1

Subtrahiere $\sqrt{x - 1}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{x + 4} = 5 - \sqrt{x - 1}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x + 4}}^{2} = {(5 - \sqrt{x - 1})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 4}$ als ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 - \sqrt{x - 1})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 - \sqrt{x - 1})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 - \sqrt{x - 1})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 4)}^{1} = {(5 - \sqrt{x - 1})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$x + 4 = {(5 - \sqrt{x - 1})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(5 - \sqrt{x - 1})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(5 - \sqrt{x - 1})}^{2}$ als $(5 - \sqrt{x - 1}) (5 - \sqrt{x - 1})$ um.

$x + 4 = (5 - \sqrt{x - 1}) (5 - \sqrt{x - 1})$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(5 - \sqrt{x - 1}) (5 - \sqrt{x - 1})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 4 = 5 (5 - \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} (5 - \sqrt{x - 1})$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 4 = 5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} (5 - \sqrt{x - 1})$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 4 = 5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} \cdot 5 - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1})$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$x + 4 = 25 + 5 (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} \cdot 5 - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1})$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} \cdot 5 - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1})$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1})$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Multipliziere $- \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1})$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + 1 \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{x - 1}$ mit $1$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{x - 1}$ mit $1$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + {\sqrt{x - 1}}^{1} \sqrt{x - 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4

Potenziere $\sqrt{x - 1}$ mit $1$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + {\sqrt{x - 1}}^{1} {\sqrt{x - 1}}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + {\sqrt{x - 1}}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + {\sqrt{x - 1}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ als $x - 1$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 1}$ als ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + {(x - 1)}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.5

Vereinfache.

$x + 4 = 25 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + x - 1$

Schritt 3.3.1.3.2

Subtrahiere $1$ von $25$ .

$x + 4 = 24 - 5 \sqrt{x - 1} - 5 \sqrt{x - 1} + x$

Schritt 3.3.1.3.3

Subtrahiere $5 \sqrt{x - 1}$ von $- 5 \sqrt{x - 1}$ .

$x + 4 = 24 - 10 \sqrt{x - 1} + x$

Schritt 4

Löse nach $- 10 \sqrt{x - 1}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $24 - 10 \sqrt{x - 1} + x = x + 4$ um.

$24 - 10 \sqrt{x - 1} + x = x + 4$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $- 10 \sqrt{x - 1}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $24$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 10 \sqrt{x - 1} + x = x + 4 - 24$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 10 \sqrt{x - 1} = x + 4 - 24 - x$

Schritt 4.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 4 - 24 - x$ .

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Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$- 10 \sqrt{x - 1} = 0 + 4 - 24$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $0$ und $4$ .

$- 10 \sqrt{x - 1} = 4 - 24$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $24$ von $4$ .

$- 10 \sqrt{x - 1} = - 20$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 10 \sqrt{x - 1})}^{2} = {(- 20)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 1}$ als ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 10 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 20)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(- 10 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 10 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 10)}^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 20)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$100 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 20)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$100 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 20)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$100 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 20)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$100 {(x - 1)}^{1} = {(- 20)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache.

$100 (x - 1) = {(- 20)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$100 x + 100 \cdot - 1 = {(- 20)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Mutltipliziere $100$ mit $- 1$ .

$100 x - 100 = {(- 20)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Potenziere $- 20$ mit $2$ .

$100 x - 100 = 400$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Addiere $100$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$100 x = 400 + 100$

Schritt 7.1.2

Addiere $400$ und $100$ .

$100 x = 500$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $100 x = 500$ durch $100$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $100 x = 500$ durch $100$ .

$\frac{100 x}{100} = \frac{500}{100}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $100$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{100 x}{100} = \frac{500}{100}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{500}{100}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Dividiere $500$ durch $100$ .

$x = 5$