Elementarmathematik Beispiele

f (x) = 3 x^{3} - 12 x^{2} - 15 x

$f (x) = 3 x^{3} - 12 x^{2} - 15 x$

Schritt 1

Setze

3 x^{3} - 12 x^{2} - 15 x

$3 x^{3} - 12 x^{2} - 15 x$ gleich

0

$0$ .

3 x^{3} - 12 x^{2} - 15 x = 0

$3 x^{3} - 12 x^{2} - 15 x = 0$

Schritt 2

Löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere

3 x

$3 x$ aus

3 x^{3} - 12 x^{2} - 15 x

$3 x^{3} - 12 x^{2} - 15 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere

3 x

$3 x$ aus

3 x^{3}

$3 x^{3}$ heraus.

3 x (x^{2}) - 12 x^{2} - 15 x = 0

$3 x (x^{2}) - 12 x^{2} - 15 x = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere

3 x

$3 x$ aus

- 12 x^{2}

$- 12 x^{2}$ heraus.

3 x (x^{2}) + 3 x (- 4 x) - 15 x = 0

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 4 x) - 15 x = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere

3 x

$3 x$ aus

- 15 x

$- 15 x$ heraus.

3 x (x^{2}) + 3 x (- 4 x) + 3 x (- 5) = 0

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 4 x) + 3 x (- 5) = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere

3 x

$3 x$ aus

3 x (x^{2}) + 3 x (- 4 x)

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 4 x)$ heraus.

3 x (x^{2} - 4 x) + 3 x (- 5) = 0

$3 x (x^{2} - 4 x) + 3 x (- 5) = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere

3 x

$3 x$ aus

3 x (x^{2} - 4 x) + 3 x (- 5)

$3 x (x^{2} - 4 x) + 3 x (- 5)$ heraus.

3 x (x^{2} - 4 x - 5) = 0

$3 x (x^{2} - 4 x - 5) = 0$

3 x (x^{2} - 4 x - 5) = 0

$3 x (x^{2} - 4 x - 5) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere

x^{2} - 4 x - 5

$x^{2} - 4 x - 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.2.1.1

Betrachte die Form

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt

c

$c$ und deren Summe

b

$b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt

- 5

$- 5$ und deren Summe

- 4

$- 4$ ist.

- 5, 1

$- 5, 1$

Schritt 2.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

3 x ((x - 5) (x + 1)) = 0

$3 x ((x - 5) (x + 1)) = 0$

3 x ((x - 5) (x + 1)) = 0

$3 x ((x - 5) (x + 1)) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

3 x (x - 5) (x + 1) = 0

$3 x (x - 5) (x + 1) = 0$

3 x (x - 5) (x + 1) = 0

$3 x (x - 5) (x + 1) = 0$

3 x (x - 5) (x + 1) = 0

$3 x (x - 5) (x + 1) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x - 5 = 0

$x - 5 = 0$

x + 1 = 0

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3

Setze

x

$x$ gleich

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze

x - 5

$x - 5$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze

x - 5

$x - 5$ gleich

0

$0$ .

x - 5 = 0

$x - 5 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere

5

$5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

x = 5

$x = 5$

x = 5

$x = 5$

Schritt 2.5

Setze

x + 1

$x + 1$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze

x + 1

$x + 1$ gleich

0

$0$ .

x + 1 = 0

$x + 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere

1

$1$ von beiden Seiten der Gleichung.

x = - 1

$x = - 1$

x = - 1

$x = - 1$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

3 x (x - 5) (x + 1) = 0

$3 x (x - 5) (x + 1) = 0$ wahr machen.

x = 0, 5, - 1

$x = 0, 5, - 1$

x = 0, 5, - 1

$x = 0, 5, - 1$

Schritt 3