Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = - \log_{3} (x - 1) + 3$

Step 1

Finde die Asymptoten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ermittle, wo der Ausdruck $- \log_{3} (x - 1) + 3$ nicht definiert ist.

$x \leq 1$

Da $- \log_{3} (x - 1) + 3$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $1$ von links und $- \log_{3} (x - 1) + 3$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $1$ von rechts, dann ist $x = 1$ eine vertikale Asymptote.

$x = 1$

Den Logarithmus außer Acht lassend, betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Es gibt keine horizontalen Asymptoten, da $Q (x)$ $1$ ist.

Keine horizontalen Asymptoten

Es sind keine schiefen Asymptoten für logarithmische und trigonometrische Funktionen vorhanden.

Keine schiefen Asymptoten

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 1$

Keine horizontalen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = 1$

Keine horizontalen Asymptoten

Step 2

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = - \log_{3} ((2) - 1) + 3$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f (2) = - \log_{3} (1) + 3$

Die logarithmische Basis $3$ von $1$ ist $0$ .

$f (2) = - 0 + 3$

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (2) = 0 + 3$

Addiere $0$ und $3$ .

$f (2) = 3$

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Konvertiere $3$ nach Dezimal.

$y = 3$

Step 3

Bestimme den Punkt bei $x = 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = - \log_{3} ((4) - 1) + 3$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$f (4) = - \log_{3} (3) + 3$

Die logarithmische Basis $3$ von $3$ ist $1$ .

$f (4) = - 1 \cdot 1 + 3$

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (4) = - 1 + 3$

Addiere $- 1$ und $3$ .

$f (4) = 2$

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Konvertiere $2$ nach Dezimal.

$y = 2$

Step 4

Bestimme den Punkt bei $x = 10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $10$ .

$f (10) = - \log_{3} ((10) - 1) + 3$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Subtrahiere $1$ von $10$ .

$f (10) = - \log_{3} (9) + 3$

Die logarithmische Basis $3$ von $9$ ist $2$ .

$f (10) = - 1 \cdot 2 + 3$

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (10) = - 2 + 3$

Addiere $- 2$ und $3$ .

$f (10) = 1$

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Konvertiere $1$ nach Dezimal.

$y = 1$

Step 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 1$ und den Punkten $(2, 3), (4, 2), (10, 1)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 3 \\ 4 & 2 \\ 10 & 1 \end{array}$

Step 6