Elementarmathematik Beispiele

\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Step 1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

x

$x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

2 x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})

$2 x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Step 2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Der genau Wert von

\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ .

2 x = \frac{π}{4}

$2 x = \frac{π}{4}$

2 x = \frac{π}{4}

$2 x = \frac{π}{4}$

Step 3

Teile jeden Ausdruck in

2 x = \frac{π}{4}

$2 x = \frac{π}{4}$ durch

2

$2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile jeden Ausdruck in

2 x = \frac{π}{4}

$2 x = \frac{π}{4}$ durch

2

$2$ .

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Dividiere

x

$x$ durch

1

$1$ .

x = \frac{\frac{π}{4}}{2}

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

x = \frac{\frac{π}{4}}{2}

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

x = \frac{\frac{π}{4}}{2}

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Multipliziere

\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}

$\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ mit

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

x = \frac{π}{4 \cdot 2}

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

Mutltipliziere

4

$4$ mit

2

$2$ .

x = \frac{π}{8}

$x = \frac{π}{8}$

x = \frac{π}{8}

$x = \frac{π}{8}$

x = \frac{π}{8}

$x = \frac{π}{8}$

x = \frac{π}{8}

$x = \frac{π}{8}$

Step 4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von

2 π

$2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

2 x = 2 π - \frac{π}{4}

$2 x = 2 π - \frac{π}{4}$

Step 5

Löse nach

x

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

2 π

$2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

2 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}

$2 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Kombiniere

2 π

$2 π$ und

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

2 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

2 x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}

$2 x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Mutltipliziere

4

$4$ mit

2

$2$ .

2 x = \frac{8 π - π}{4}

$2 x = \frac{8 π - π}{4}$

Subtrahiere

π

$π$ von

8 π

$8 π$ .

2 x = \frac{7 π}{4}

$2 x = \frac{7 π}{4}$

2 x = \frac{7 π}{4}

$2 x = \frac{7 π}{4}$

Teile jeden Ausdruck in

2 x = \frac{7 π}{4}

$2 x = \frac{7 π}{4}$ durch

2

$2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile jeden Ausdruck in

2 x = \frac{7 π}{4}

$2 x = \frac{7 π}{4}$ durch

2

$2$ .

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Dividiere

x

$x$ durch

1

$1$ .

x = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

x = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

x = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Multipliziere

\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}

$\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere

\frac{7 π}{4}

$\frac{7 π}{4}$ mit

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

x = \frac{7 π}{4 \cdot 2}

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 2}$

Mutltipliziere

4

$4$ mit

2

$2$ .

x = \frac{7 π}{8}

$x = \frac{7 π}{8}$

x = \frac{7 π}{8}

$x = \frac{7 π}{8}$

x = \frac{7 π}{8}

$x = \frac{7 π}{8}$

x = \frac{7 π}{8}

$x = \frac{7 π}{8}$

x = \frac{7 π}{8}

$x = \frac{7 π}{8}$

Step 6

Ermittele die Periode von

\cos (2 x)

$\cos (2 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Ersetze

b

$b$ durch

2

$2$ in der Formel für die Periode.

\frac{2 π}{| 2 |}

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

2

$2$ ist

2

$2$ .

\frac{2 π}{2}

$\frac{2 π}{2}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{2 π}{2}

$\frac{2 π}{2}$

Dividiere

π

$π$ durch

1

$1$ .

π

$π$

π

$π$

π

$π$

Step 7

Die Periode der Funktion

\cos (2 x)

$\cos (2 x)$ ist

π

$π$ , d. h., Werte werden sich alle

π

$π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

x = \frac{π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , für jede ganze Zahl

n

$n$