Elementarmathematik Beispiele

f (x) = - ln (x - 1) + 3

$f (x) = - \ln (x - 1) + 3$

Step 1

Finde die Asymptoten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ermittle, wo der Ausdruck

- ln (x - 1) + 3

$- \ln (x - 1) + 3$ nicht definiert ist.

x \leq 1

$x \leq 1$

- ln (x - 1) + 3

$- \ln (x - 1) + 3$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ , wenn

x

$x$

\to

$\to$

1

$1$ von links und

- ln (x - 1) + 3

$- \ln (x - 1) + 3$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ , wenn

x

$x$

\to

$\to$

1

$1$ von rechts, dann ist

x = 1

$x = 1$ eine vertikale Asymptote.

x = 1

$x = 1$

Den Logarithmus außer Acht lassend, betrachte die rationale Funktion

R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}

$R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei

n

$n$ der Grad des Zählers und

m

$m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn

n < m

$n < m$ , dann ist die x-Achse,

y = 0

$y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn

n = m

$n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade

y = \frac{a}{b}

$y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn

n > m

$n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Es gibt keine horizontalen Asymptoten, da

Q (x)

$Q (x)$

1

$1$ ist.

Keine horizontalen Asymptoten

Es sind keine schiefen Asymptoten für logarithmische und trigonometrische Funktionen vorhanden.

Keine schiefen Asymptoten

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten:

x = 1

$x = 1$

Keine horizontalen Asymptoten

Vertikale Asymptoten:

x = 1

$x = 1$

Keine horizontalen Asymptoten

Step 2

Bestimme den Punkt bei

x = 2

$x = 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

x

$x$ durch

2

$2$ .

f (2) = - ln ((2) - 1) + 3

$f (2) = - \ln ((2) - 1) + 3$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Subtrahiere

1

$1$ von

2

$2$ .

f (2) = - ln (1) + 3

$f (2) = - \ln (1) + 3$

Der natürliche Logarithmus von

1

$1$ ist

0

$0$ .

f (2) = - 0 + 3

$f (2) = - 0 + 3$

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

0

$0$ .

f (2) = 0 + 3

$f (2) = 0 + 3$

f (2) = 0 + 3

$f (2) = 0 + 3$

Addiere

0

$0$ und

3

$3$ .

f (2) = 3

$f (2) = 3$

Die endgültige Lösung ist

3

$3$ .

3

$3$

3

$3$

Konvertiere

3

$3$ nach Dezimal.

y = 3

$y = 3$

Step 3

Bestimme den Punkt bei

$x = 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$3$ .

$f (3) = - \ln ((3) - 1) + 3$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Subtrahiere

$1$ von

$3$ .

$f (3) = - \ln (2) + 3$

Die endgültige Lösung ist

$- \ln (2) + 3$ .

$- \ln (2) + 3$

Konvertiere

$- \ln (2) + 3$ nach Dezimal.

$y = 2.30685281$

Step 4

Bestimme den Punkt bei

$x = 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$4$ .

$f (4) = - \ln ((4) - 1) + 3$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Subtrahiere

$1$ von

$4$ .

$f (4) = - \ln (3) + 3$

Die endgültige Lösung ist

$- \ln (3) + 3$ .

$- \ln (3) + 3$

Konvertiere

$- \ln (3) + 3$ nach Dezimal.

$y = 1.90138771$

Step 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei

$x = 1$ und den Punkten

$(2, 3), (3, 2.30685281), (4, 1.90138771)$ .

Vertikale Asymptote:

$x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 3 \\ 3 & 2.307 \\ 4 & 1.901 \end{array}$

Step 6