Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} - 4 x^{3} - x^{2} + 4 x = 0$

Step 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Faktorisiere $x$ aus $x^{4} - 4 x^{3} - x^{2} + 4 x$ heraus.

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Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$x \cdot x^{3} - 4 x^{3} - x^{2} + 4 x = 0$

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) - x^{2} + 4 x = 0$

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x (- x) + 4 x = 0$

Faktorisiere $x$ aus $4 x$ heraus.

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x (- x) + x \cdot 4 = 0$

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2})$ heraus.

$x (x^{3} - 4 x^{2}) + x (- x) + x \cdot 4 = 0$

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{3} - 4 x^{2}) + x (- x)$ heraus.

$x (x^{3} - 4 x^{2} - x) + x \cdot 4 = 0$

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{3} - 4 x^{2} - x) + x \cdot 4$ heraus.

$x (x^{3} - 4 x^{2} - x + 4) = 0$

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x ((x^{3} - 4 x^{2}) - x + 4) = 0$

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (x^{2} (x - 4) - (x - 4)) = 0$

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 4$ .

$x ((x - 4) (x^{2} - 1)) = 0$

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x ((x - 4) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Faktorisiere.

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Faktorisiere.

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Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$x ((x - 4) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Entferne unnötige Klammern.

$x ((x - 4) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Entferne unnötige Klammern.

$x (x - 4) (x + 1) (x - 1) = 0$

Step 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Step 3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Step 4

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Step 5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Step 6

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Step 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 4) (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 4, - 1, 1$