Elementarmathematik Beispiele

\sqrt{x + 30} = x

$\sqrt{x + 30} = x$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

{\sqrt{x + 30}}^{2} = x^{2}

${\sqrt{x + 30}}^{2} = x^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{x + 30}

$\sqrt{x + 30}$ als

{(x + 30)}^{\frac{1}{2}}

${(x + 30)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

{({(x + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}

${({(x + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache

{({(x + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({(x + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in

{({(x + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({(x + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{(x + 30)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}

${(x + 30)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

{(x + 30)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}

${(x + 30)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

{(x + 30)}^{1} = x^{2}

${(x + 30)}^{1} = x^{2}$

{(x + 30)}^{1} = x^{2}

${(x + 30)}^{1} = x^{2}$

{(x + 30)}^{1} = x^{2}

${(x + 30)}^{1} = x^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

x + 30 = x^{2}

$x + 30 = x^{2}$

x + 30 = x^{2}

$x + 30 = x^{2}$

x + 30 = x^{2}

$x + 30 = x^{2}$

x + 30 = x^{2}

$x + 30 = x^{2}$

Schritt 3

Löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere

x^{2}

$x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

x + 30 - x^{2} = 0

$x + 30 - x^{2} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere

- 1

$- 1$ aus

x + 30 - x^{2}

$x + 30 - x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 3.2.1.1.1

Bewege

30

$30$ .

x - x^{2} + 30 = 0

$x - x^{2} + 30 = 0$

Schritt 3.2.1.1.2

Stelle

x

$x$ und

- x^{2}

$- x^{2}$ um.

- x^{2} + x + 30 = 0

$- x^{2} + x + 30 = 0$

- x^{2} + x + 30 = 0

$- x^{2} + x + 30 = 0$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere

- 1

$- 1$ aus

- x^{2}

$- x^{2}$ heraus.

- (x^{2}) + x + 30 = 0

$- (x^{2}) + x + 30 = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere

- 1

$- 1$ aus

x

$x$ heraus.

- (x^{2}) - 1 (- x) + 30 = 0

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 30 = 0$

Schritt 3.2.1.4

Schreibe

30

$30$ als

- 1 (- 30)

$- 1 (- 30)$ um.

- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 30 = 0

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 30 = 0$

Schritt 3.2.1.5

Faktorisiere

- 1

$- 1$ aus

- (x^{2}) - 1 (- x)

$- (x^{2}) - 1 (- x)$ heraus.

- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 30 = 0

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 30 = 0$

Schritt 3.2.1.6

Faktorisiere

- 1

$- 1$ aus

- (x^{2} - x) - 1 (- 30)

$- (x^{2} - x) - 1 (- 30)$ heraus.

- (x^{2} - x - 30) = 0

$- (x^{2} - x - 30) = 0$

- (x^{2} - x - 30) = 0

$- (x^{2} - x - 30) = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere

x^{2} - x - 30

$x^{2} - x - 30$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.2.1.1

Betrachte die Form

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt

c

$c$ und deren Summe

b

$b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt

- 30

$- 30$ und deren Summe

- 1

$- 1$ ist.

- 6, 5

$- 6, 5$

Schritt 3.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

- ((x - 6) (x + 5)) = 0

$- ((x - 6) (x + 5)) = 0$

- ((x - 6) (x + 5)) = 0

$- ((x - 6) (x + 5)) = 0$

Schritt 3.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

- (x - 6) (x + 5) = 0

$- (x - 6) (x + 5) = 0$

- (x - 6) (x + 5) = 0

$- (x - 6) (x + 5) = 0$

- (x - 6) (x + 5) = 0

$- (x - 6) (x + 5) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

x - 6 = 0

$x - 6 = 0$

x + 5 = 0

$x + 5 = 0$

Schritt 3.4

Setze

x - 6

$x - 6$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze

x - 6

$x - 6$ gleich

0

$0$ .

x - 6 = 0

$x - 6 = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere

6

$6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

x = 6

$x = 6$

x = 6

$x = 6$

Schritt 3.5

Setze

x + 5

$x + 5$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze

x + 5

$x + 5$ gleich

0

$0$ .

x + 5 = 0

$x + 5 = 0$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere

5

$5$ von beiden Seiten der Gleichung.

x = - 5

$x = - 5$

x = - 5

$x = - 5$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

- (x - 6) (x + 5) = 0

$- (x - 6) (x + 5) = 0$ wahr machen.

x = 6, - 5

$x = 6, - 5$

x = 6, - 5

$x = 6, - 5$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die

\sqrt{x + 30} = x

$\sqrt{x + 30} = x$ nicht erfüllen.

x = 6

$x = 6$