Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = - \ln (x + 1)$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = - \ln ((x + h) + 1)$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = - \ln (x + h + 1)$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \ln (x + h + 1)$ .

$- \ln (x + h + 1)$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = - \ln (x + h + 1)$

$f (x) = - \ln (x + 1)$

$f (x + h) = - \ln (x + h + 1)$

$f (x) = - \ln (x + 1)$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \ln (x + h + 1) - (- \ln (x + 1))}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (x + h + 1) - - \ln (x + 1)$ heraus.

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Schritt 4.1.1.1

Versetze die Klammern.

$\frac{- \ln (x + h + 1) - - 1 \ln (x + 1)}{h}$

Schritt 4.1.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (x + h + 1)$ heraus.

$\frac{- \ln (x + h + 1) - - 1 \ln (x + 1)}{h}$

Schritt 4.1.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- - 1 \ln (x + 1)$ heraus.

$\frac{- \ln (x + h + 1) - - \ln (x + 1)}{h}$

Schritt 4.1.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (x + h + 1) - - \ln (x + 1)$ heraus.

$\frac{- (\ln (x + h + 1) - \ln (x + 1))}{h}$

Schritt 4.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{- \ln (\frac{x + h + 1}{x + 1})}{h}$

Schritt 4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\ln (\frac{x + h + 1}{x + 1})}{h}$

Schritt 5