Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ , $[2, 4]$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ als Gleichung.

$y = x^{2} - \frac{1}{x}$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (4) - f (2)}{(4) - (2)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = x^{2} - \frac{1}{x}$ für $f (4)$ und $f (2)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{({(4)}^{2} - \frac{1}{4}) - ({(2)}^{2} - \frac{1}{2})}{(4) - (2)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $4$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2})}{4 - (2)}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} \cdot \frac{4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2})}{4 - (2)}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{4 (4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 (4 - (2))}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 \cdot 4^{2} + 4 (- \frac{1}{4}) + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{4}$ in den Zähler.

$\frac{4 \cdot 4^{2} + 4 (\frac{- 1}{4}) + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 4^{2} + 4 (\frac{- 1}{4}) + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \cdot 4^{2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere $4$ mit $4^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4^{2}$ .

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Schritt 3.4.1.1.1

Potenziere $4$ mit $1$ .

$\frac{4^{1} \cdot 4^{2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Schritt 3.4.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4^{1 + 2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Schritt 3.4.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{4^{3} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Schritt 3.4.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Schritt 3.4.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- (4 - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Schritt 3.4.4

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- (4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Schritt 3.4.5

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- (\frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Schritt 3.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{4 \cdot 2 - 1}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Schritt 3.4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{8 - 1}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Schritt 3.4.7.2

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{7}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Schritt 3.4.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.8.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{2}$ in den Zähler.

$\frac{64 - 1 + 4 (\frac{- 7}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Schritt 3.4.8.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{64 - 1 + 2 (2) \frac{- 7}{2}}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Schritt 3.4.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{64 - 1 + 2 \cdot 2 \frac{- 7}{2}}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Schritt 3.4.8.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{64 - 1 + 2 \cdot - 7}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Schritt 3.4.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$\frac{64 - 1 - 14}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Schritt 3.4.10

Subtrahiere $1$ von $64$ .

$\frac{63 - 14}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Schritt 3.4.11

Subtrahiere $14$ von $63$ .

$\frac{49}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{49}{16 + 4 (- (2))}$

Schritt 3.5.2

Multipliziere $4 (- (2))$ .

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Schritt 3.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{49}{16 + 4 \cdot - 2}$

Schritt 3.5.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{49}{16 - 8}$

Schritt 3.5.3

Subtrahiere $8$ von $16$ .

$\frac{49}{8}$