Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{{(x + h)}^{2} - 1}{(x + h) - 1}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f (x + h) = \frac{{(x + h)}^{2} - 1^{2}}{x + h - 1}$

Schritt 2.1.2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x + h$ und $b = 1$ .

$f (x + h) = \frac{(x + h + 1) (x + h - 1)}{x + h - 1}$

Schritt 2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + h - 1$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x + h) = \frac{(x + h + 1) (x + h - 1)}{x + h - 1}$

Schritt 2.1.2.2.2

Dividiere $x + h + 1$ durch $1$ .

$f (x + h) = x + h + 1$

Schritt 2.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $x + h + 1$ .

$x + h + 1$

Schritt 2.2

Stelle $x$ und $h$ um.

$h + x + 1$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = h + x + 1$

$f (x) = x + 1$

$f (x + h) = h + x + 1$

$f (x) = x + 1$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h + x + 1 - (x + 1)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h + x + 1 - x - 1 \cdot 1}{h}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{h + x + 1 - x - 1}{h}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{h + 0 + 1 - 1}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere $h$ und $0$ .

$\frac{h + 1 - 1}{h}$

Schritt 4.1.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{h + 0}{h}$

Schritt 4.1.6

Addiere $h$ und $0$ .

$\frac{h}{h}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h}{h}$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1$

Schritt 5