Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - 3 x^{3} + 2$ , $[0, 1]$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - 3 x^{3} + 2$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{5} x^{5} - 3 x^{3} + 2$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (1) - f (0)}{(1) - (0)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = \frac{1}{5} x^{5} - 3 x^{3} + 2$ für $f (1)$ und $f (0)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(\frac{1}{5} \cdot {(1)}^{5} - 3 {(1)}^{3} + 2) - (\frac{1}{5} \cdot {(0)}^{5} - 3 {(0)}^{3} + 2)}{(1) - (0)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\frac{1}{5} \cdot 1 - 3 \cdot 1^{3} + 2 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - 3 \cdot 0^{3} + 2)}{1 - (0)}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1}{5} - 3 \cdot 1^{3} + 2 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - 3 \cdot 0^{3} + 2)}{1 - (0)}$

Schritt 3.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\frac{1}{5} - 3 \cdot 1 + 2 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - 3 \cdot 0^{3} + 2)}{1 - (0)}$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1}{5} - 3 + 2 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - 3 \cdot 0^{3} + 2)}{1 - (0)}$

Schritt 3.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.5.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{\frac{1}{5} - 3 + 2 - (\frac{1}{5} \cdot 0 - 3 \cdot 0^{3} + 2)}{1 - (0)}$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $0$ .

$\frac{\frac{1}{5} - 3 + 2 - (0 - 3 \cdot 0^{3} + 2)}{1 - (0)}$

Schritt 3.1.5.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{\frac{1}{5} - 3 + 2 - (0 - 3 \cdot 0 + 2)}{1 - (0)}$

Schritt 3.1.5.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$\frac{\frac{1}{5} - 3 + 2 - (0 + 0 + 2)}{1 - (0)}$

Schritt 3.1.6

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{\frac{1}{5} - 3 + 2 - (0 + 2)}{1 - (0)}$

Schritt 3.1.7

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{\frac{1}{5} - 3 + 2 - 1 \cdot 2}{1 - (0)}$

Schritt 3.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\frac{1}{5} - 3 + 2 - 2}{1 - (0)}$

Schritt 3.1.9

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{1}{5} - 3 \cdot \frac{5}{5} + 2 - 2}{1 - (0)}$

Schritt 3.1.10

Kombiniere $- 3$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{1}{5} + \frac{- 3 \cdot 5}{5} + 2 - 2}{1 - (0)}$

Schritt 3.1.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1 - 3 \cdot 5}{5} + 2 - 2}{1 - (0)}$

Schritt 3.1.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.12.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$\frac{\frac{1 - 15}{5} + 2 - 2}{1 - (0)}$

Schritt 3.1.12.2

Subtrahiere $15$ von $1$ .

$\frac{\frac{- 14}{5} + 2 - 2}{1 - (0)}$

Schritt 3.1.13

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{- 14}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5} - 2}{1 - (0)}$

Schritt 3.1.14

Kombiniere $2$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{- 14}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5} - 2}{1 - (0)}$

Schritt 3.1.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- 14 + 2 \cdot 5}{5} - 2}{1 - (0)}$

Schritt 3.1.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.16.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{\frac{- 14 + 10}{5} - 2}{1 - (0)}$

Schritt 3.1.16.2

Addiere $- 14$ und $10$ .

$\frac{\frac{- 4}{5} - 2}{1 - (0)}$

Schritt 3.1.17

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{- 4}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5}}{1 - (0)}$

Schritt 3.1.18

Kombiniere $- 2$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{- 4}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5}}{1 - (0)}$

Schritt 3.1.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- 4 - 2 \cdot 5}{5}}{1 - (0)}$

Schritt 3.1.20

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.20.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$\frac{\frac{- 4 - 10}{5}}{1 - (0)}$

Schritt 3.1.20.2

Subtrahiere $10$ von $- 4$ .

$\frac{\frac{- 14}{5}}{1 - (0)}$

Schritt 3.1.21

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{14}{5}}{1 - (0)}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{- \frac{14}{5}}{1 + 0}$

Schritt 3.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{- \frac{14}{5}}{1}$

Schritt 3.3

Dividiere $- \frac{14}{5}$ durch $1$ .

$- \frac{14}{5}$