Elementarmathematik Beispiele

$A = π r^{2}$

Schritt 1

Schreibe $A = π r^{2}$ als Funktion.

$f (r) = π r^{2}$

Schritt 2

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (r + h) - f r}{h}$

Schritt 3

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 3.1

Berechne die Funktion bei $x = r + h$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $r$ durch $r + h$ .

$f (r + h) = π {(r + h)}^{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Schreibe ${(r + h)}^{2}$ als $(r + h) (r + h)$ um.

$f (r + h) = π ((r + h) (r + h))$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere $(r + h) (r + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (r + h) = π (r (r + h) + h (r + h))$

Schritt 3.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (r + h) = π (r \cdot r + r h + h (r + h))$

Schritt 3.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (r + h) = π (r \cdot r + r h + h r + h \cdot h)$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$f (r + h) = π (r^{2} + r h + h r + h \cdot h)$

Schritt 3.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (r + h) = π (r^{2} + r h + h r + h^{2})$

Schritt 3.1.2.3.2

Addiere $r h$ und $h r$ .

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Schritt 3.1.2.3.2.1

Stelle $r$ und $h$ um.

$f (r + h) = π (r^{2} + h r + h r + h^{2})$

Schritt 3.1.2.3.2.2

Addiere $h r$ und $h r$ .

$f (r + h) = π (r^{2} + 2 h r + h^{2})$

Schritt 3.1.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (r + h) = π r^{2} + π (2 h r) + π h^{2}$

Schritt 3.1.2.5

Entferne die Klammern.

$f (r + h) = π r^{2} + π \cdot (2 h r) + π h^{2}$

Schritt 3.1.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$f (r + h) = π r^{2} + 2 π h r + π h^{2}$

Schritt 3.1.2.7

Die endgültige Lösung ist $π r^{2} + 2 π h r + π h^{2}$ .

$π r^{2} + 2 π h r + π h^{2}$

Schritt 3.2

Stelle um.

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Schritt 3.2.1

Bewege $π r^{2}$ .

$2 π h r + π h^{2} + π r^{2}$

Schritt 3.2.2

Stelle $2 π h r$ und $π h^{2}$ um.

$π h^{2} + 2 π h r + π r^{2}$

Schritt 3.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (r + h) = π h^{2} + 2 π h r + π r^{2}$

$f (r) = π r^{2}$

$f (r + h) = π h^{2} + 2 π h r + π r^{2}$

$f (r) = π r^{2}$

Schritt 4

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (r + h) - f r}{h} = \frac{π h^{2} + 2 π h r + π r^{2} - (π r^{2})}{h}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $π r^{2}$ von $π r^{2}$ .

$\frac{π h^{2} + 2 π h r + 0}{h}$

Schritt 5.1.2

Addiere $π h^{2} + 2 π h r$ und $0$ .

$\frac{π h^{2} + 2 π h r}{h}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $π h$ aus $π h^{2} + 2 π h r$ heraus.

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Schritt 5.1.3.1

Faktorisiere $π h$ aus $π h^{2}$ heraus.

$\frac{π h \cdot h + 2 π h r}{h}$

Schritt 5.1.3.2

Faktorisiere $π h$ aus $2 π h r$ heraus.

$\frac{π h \cdot h + π h (2 r)}{h}$

Schritt 5.1.3.3

Faktorisiere $π h$ aus $π h \cdot h + π h (2 r)$ heraus.

$\frac{π h (h + 2 r)}{h}$

Schritt 5.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π h (h + 2 r)}{h}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $π (h + 2 r)$ durch $1$ .

$π (h + 2 r)$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$π h + π (2 r)$

Schritt 5.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$π h + 2 π r$

Schritt 5.2.4

Stelle $π h$ und $2 π r$ um.

$2 π r + π h$

Schritt 6