Elementarmathematik Beispiele

$p (t) = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$ on $[- 3, 1]$

Schritt 1

Schreibe $p (t) = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$ als Gleichung.

$y = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $t$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (1) - f (- 3)}{(1) - (- 3)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$ für $f (1)$ und $f (- 3)$ ein, wobei $t$ durch den entsprechenden $t$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(\frac{({(1)}^{2} - 4) ((1) + 1)}{{(1)}^{2} + 3}) - (\frac{({(- 3)}^{2} - 4) ((- 3) + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1) - (- 3)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} - \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{1 - (- 3)}$ mit $\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)}$ .

$\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)} \cdot \frac{\frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} - \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{1 - (- 3)}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (\frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} - \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (1 - (- 3))}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1^{2} + 3$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(- 3)}^{2} + 3$ .

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Schritt 3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}$ in den Zähler.

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \frac{- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere ${(- 3)}^{2} + 3$ aus $(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)$ heraus.

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + ({(- 3)}^{2} + 3) (1^{2} + 3) \frac{- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{(9 + 3) (1^{2} - 4) (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.4.2

Addiere $9$ und $3$ .

$\frac{12 (1^{2} - 4) (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{12 (1 - 4) (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.4.4

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\frac{12 \cdot - 3 (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.4.5

Mutltipliziere $12$ mit $- 3$ .

$\frac{- 36 (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 36 \cdot 2 + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.4.7

Mutltipliziere $- 36$ mit $2$ .

$\frac{- 72 + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.4.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{- 72 + (1 + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.4.9

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{- 72 + 4 (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.4.10

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{- 72 + 4 (- (9 - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.4.11

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$\frac{- 72 + 4 (- 1 \cdot 5 (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.4.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{- 72 + 4 (- 5 (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.4.13

Addiere $- 3$ und $1$ .

$\frac{- 72 + 4 (- 5 \cdot - 2)}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.4.14

Multipliziere $4 (- 5 \cdot - 2)$ .

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Schritt 3.4.14.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 2$ .

$\frac{- 72 + 4 \cdot 10}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.4.14.2

Mutltipliziere $4$ mit $10$ .

$\frac{- 72 + 40}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.4.15

Addiere $- 72$ und $40$ .

$\frac{- 32}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{- 32}{(1 + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.5.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{- 32}{4 ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.5.3

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{- 32}{4 (9 + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.5.4

Addiere $9$ und $3$ .

$\frac{- 32}{4 \cdot 12 \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.5.5

Multipliziere $4 \cdot 12 \cdot 1$ .

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Schritt 3.5.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $12$ .

$\frac{- 32}{48 \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.5.5.2

Mutltipliziere $48$ mit $1$ .

$\frac{- 32}{48 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.5.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{- 32}{48 + (1 + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.5.7

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{- 32}{48 + 4 ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.5.8

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{- 32}{48 + 4 (9 + 3) (- (- 3))}$

Schritt 3.5.9

Addiere $9$ und $3$ .

$\frac{- 32}{48 + 4 \cdot 12 (- (- 3))}$

Schritt 3.5.10

Multipliziere $4 \cdot 12 (- (- 3))$ .

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Schritt 3.5.10.1

Mutltipliziere $4$ mit $12$ .

$\frac{- 32}{48 + 48 (- (- 3))}$

Schritt 3.5.10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{- 32}{48 + 48 \cdot 3}$

Schritt 3.5.10.3

Mutltipliziere $48$ mit $3$ .

$\frac{- 32}{48 + 144}$

Schritt 3.5.11

Addiere $48$ und $144$ .

$\frac{- 32}{192}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 32$ und $192$ .

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Schritt 3.6.1.1

Faktorisiere $32$ aus $- 32$ heraus.

$\frac{32 (- 1)}{192}$

Schritt 3.6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.1.2.1

Faktorisiere $32$ aus $192$ heraus.

$\frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 6}$

Schritt 3.6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 6}$

Schritt 3.6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{6}$

Schritt 3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{6}$