Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = - \frac{3 x}{2} + 4$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = - \frac{3 (x + h)}{2} + 4$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x + h) = - \frac{3 (x + h)}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.2.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (x + h) = - \frac{3 (x + h)}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.1.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x + h) = \frac{- 3 (x + h) + 4 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{- 3 x - 3 h + 4 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.1.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (x + h) = \frac{- 3 x - 3 h + 8}{2}$

Schritt 2.1.2.4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1.2.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$f (x + h) = \frac{- (3 x) - 3 h + 8}{2}$

Schritt 2.1.2.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 h$ heraus.

$f (x + h) = \frac{- (3 x) - (3 h) + 8}{2}$

Schritt 2.1.2.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - (3 h)$ heraus.

$f (x + h) = \frac{- (3 x + 3 h) + 8}{2}$

Schritt 2.1.2.4.4

Schreibe $8$ als $- 1 (- 8)$ um.

$f (x + h) = \frac{- (3 x + 3 h) - 1 \cdot - 8}{2}$

Schritt 2.1.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x + 3 h) - 1 (- 8)$ heraus.

$f (x + h) = \frac{- (3 x + 3 h - 8)}{2}$

Schritt 2.1.2.4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.4.6.1

Schreibe $- (3 x + 3 h - 8)$ als $- 1 (3 x + 3 h - 8)$ um.

$f (x + h) = \frac{- 1 (3 x + 3 h - 8)}{2}$

Schritt 2.1.2.4.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (x + h) = - \frac{3 x + 3 h - 8}{2}$

Schritt 2.1.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{3 x + 3 h - 8}{2}$ .

$- \frac{3 x + 3 h - 8}{2}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = - \frac{3 x + 3 h - 8}{2}$

$f (x) = - \frac{3 x}{2} + 4$

$f (x + h) = - \frac{3 x + 3 h - 8}{2}$

$f (x) = - \frac{3 x}{2} + 4$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{3 x + 3 h - 8}{2} - (- \frac{3 x}{2} + 4)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \frac{3 x + 3 h - 8}{2} - - \frac{3 x}{2} - 1 \cdot 4}{h}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- - \frac{3 x}{2}$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- \frac{3 x + 3 h - 8}{2} + 1 \frac{3 x}{2} - 1 \cdot 4}{h}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $\frac{3 x}{2}$ mit $1$ .

$\frac{- \frac{3 x + 3 h - 8}{2} + \frac{3 x}{2} - 1 \cdot 4}{h}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- \frac{3 x + 3 h - 8}{2} + \frac{3 x}{2} - 4}{h}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- (3 x + 3 h - 8) + 3 x}{2} - 4}{h}$

Schritt 4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{- (3 x) - (3 h) - - 8 + 3 x}{2} - 4}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{- 3 x - (3 h) - - 8 + 3 x}{2} - 4}{h}$

Schritt 4.1.5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{- 3 x - 3 h - - 8 + 3 x}{2} - 4}{h}$

Schritt 4.1.5.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$\frac{\frac{- 3 x - 3 h + 8 + 3 x}{2} - 4}{h}$

Schritt 4.1.5.3

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$\frac{\frac{- 3 h + 8 + 0}{2} - 4}{h}$

Schritt 4.1.5.4

Addiere $- 3 h + 8$ und $0$ .

$\frac{\frac{- 3 h + 8}{2} - 4}{h}$

Schritt 4.1.6

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{- 3 h + 8}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2}}{h}$

Schritt 4.1.7

Kombiniere $- 4$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{- 3 h + 8}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}}{h}$

Schritt 4.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- 3 h + 8 - 4 \cdot 2}{2}}{h}$

Schritt 4.1.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.9.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{\frac{- 3 h + 8 - 8}{2}}{h}$

Schritt 4.1.9.2

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$\frac{\frac{- 3 h + 0}{2}}{h}$

Schritt 4.1.9.3

Addiere $- 3 h$ und $0$ .

$\frac{\frac{- 3 h}{2}}{h}$

Schritt 4.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{3 h}{2}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{3 h}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 h}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- 3 h}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $h$ aus $- 3 h$ heraus.

$\frac{h \cdot - 3}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h \cdot - 3}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3}{2}$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2}$

Schritt 5