Elementarmathematik Beispiele

$y = 2 \sqrt{x}$

Schritt 1

Schreibe $y = 2 \sqrt{x}$ als Funktion.

$f (x) = 2 \sqrt{x}$

Schritt 2

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 3

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 3.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 2 \sqrt{x + h}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = 2 \sqrt{x + h}$

Schritt 3.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $2 \sqrt{x + h}$ .

$2 \sqrt{x + h}$

Schritt 3.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 2 \sqrt{x + h}$

$f (x) = 2 \sqrt{x}$

$f (x + h) = 2 \sqrt{x + h}$

$f (x) = 2 \sqrt{x}$

Schritt 4

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{2 \sqrt{x + h} - (2 \sqrt{x})}{h}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + h}$ als ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 \sqrt{x}}{h}$

Schritt 5.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}{h}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}}{h}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}}{h}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2}})}{h}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$\frac{2 ({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}})}{h}$

Schritt 6