Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = e^{x - 1} + 3$ , $[1, 5]$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = e^{x - 1} + 3$ als Gleichung.

$y = e^{x - 1} + 3$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (5) - f (1)}{(5) - (1)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = e^{x - 1} + 3$ für $f (5)$ und $f (1)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(e^{(5) - 1} + 3) - (e^{(1) - 1} + 3)}{(5) - (1)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$\frac{e^{4} + 3 - (e^{1 - 1} + 3)}{5 - (1)}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{e^{4} + 3 - (e^{0} + 3)}{5 - (1)}$

Schritt 3.1.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{e^{4} + 3 - (1 + 3)}{5 - (1)}$

Schritt 3.1.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{e^{4} + 3 - 1 \cdot 4}{5 - (1)}$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{e^{4} + 3 - 4}{5 - (1)}$

Schritt 3.1.5

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$\frac{e^{4} - 1}{5 - (1)}$

Schritt 3.1.6

Schreibe $e^{4} - 1$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.1.6.1

Schreibe $e^{4}$ als ${(e^{2})}^{2}$ um.

$\frac{{(e^{2})}^{2} - 1}{5 - (1)}$

Schritt 3.1.6.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{{(e^{2})}^{2} - 1^{2}}{5 - (1)}$

Schritt 3.1.6.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e^{2}$ und $b = 1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1)}{5 - (1)}$

Schritt 3.1.6.4

Vereinfache.

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Schritt 3.1.6.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1^{2})}{5 - (1)}$

Schritt 3.1.6.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e$ und $b = 1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{5 - (1)}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{5 - 1}$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{4}$