Elementarmathematik Beispiele

What is the average rate of change of $g (x) = \frac{2}{x + 3}$ over the interval $1 \leq x \leq 3$ ?

Schritt 1

Schreibe $g (x) = \frac{2}{x + 3}$ als Gleichung.

$y = \frac{2}{x + 3}$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (3) - f (1)}{(3) - (1)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = \frac{2}{x + 3}$ für $f (3)$ und $f (1)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(\frac{2}{(3) + 3}) - (\frac{2}{(1) + 3})}{(3) - (1)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $(3 + 3) (1 + 3)$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{2}{3 + 3} - \frac{2}{1 + 3}}{3 - (1)}$ mit $\frac{(3 + 3) (1 + 3)}{(3 + 3) (1 + 3)}$ .

$\frac{(3 + 3) (1 + 3)}{(3 + 3) (1 + 3)} \cdot \frac{\frac{2}{3 + 3} - \frac{2}{1 + 3}}{3 - (1)}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{(3 + 3) (1 + 3) (\frac{2}{3 + 3} - \frac{2}{1 + 3})}{(3 + 3) (1 + 3) (3 - (1))}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 + 3) (1 + 3) \frac{2}{3 + 3} + (3 + 3) (1 + 3) (- \frac{2}{1 + 3})}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 + 3$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 + 3) (1 + 3) \frac{2}{3 + 3} + (3 + 3) (1 + 3) (- \frac{2}{1 + 3})}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (3 + 3) (1 + 3) (- \frac{2}{1 + 3})}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + 3$ .

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Schritt 3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{1 + 3}$ in den Zähler.

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (3 + 3) (1 + 3) \frac{- 2}{1 + 3}}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $1 + 3$ aus $(3 + 3) (1 + 3)$ heraus.

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (1 + 3) (3 + 3) \frac{- 2}{1 + 3}}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Schritt 3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (1 + 3) (3 + 3) \frac{- 2}{1 + 3}}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Schritt 3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (3 + 3) \cdot - 2}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{4 \cdot 2 + (3 + 3) \cdot - 2}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8 + (3 + 3) \cdot - 2}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Schritt 3.4.3

Addiere $3$ und $3$ .

$\frac{8 + 6 \cdot - 2}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$\frac{8 - 12}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Schritt 3.4.5

Subtrahiere $12$ von $8$ .

$\frac{- 4}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Addiere $3$ und $3$ .

$\frac{- 4}{6 (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Schritt 3.5.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{- 4}{6 \cdot 4 \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Schritt 3.5.3

Multipliziere $6 \cdot 4 \cdot 3$ .

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Schritt 3.5.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$\frac{- 4}{24 \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Schritt 3.5.3.2

Mutltipliziere $24$ mit $3$ .

$\frac{- 4}{72 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Schritt 3.5.4

Addiere $3$ und $3$ .

$\frac{- 4}{72 + 6 (1 + 3) (- (1))}$

Schritt 3.5.5

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{- 4}{72 + 6 \cdot 4 (- (1))}$

Schritt 3.5.6

Multipliziere $6 \cdot 4 (- (1))$ .

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Schritt 3.5.6.1

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$\frac{- 4}{72 + 24 (- (1))}$

Schritt 3.5.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 4}{72 + 24 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.6.3

Mutltipliziere $24$ mit $- 1$ .

$\frac{- 4}{72 - 24}$

Schritt 3.5.7

Subtrahiere $24$ von $72$ .

$\frac{- 4}{48}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $48$ .

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Schritt 3.6.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{4 (- 1)}{48}$

Schritt 3.6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $48$ heraus.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 12}$

Schritt 3.6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 12}$

Schritt 3.6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{12}$

Schritt 3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{12}$