Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{3}$

Schritt 1

Schreibe $2 x^{3}$ als Funktion.

$f (x) = 2 x^{3}$

Schritt 2

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 3

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 3.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{3}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (x + h) = 2 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

Schritt 3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2} h) + 2 (3 x h^{2}) + 2 h^{3}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 (x^{2} h) + 2 (3 x h^{2}) + 2 h^{3}$

Schritt 3.1.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 (x^{2} h) + 6 (x h^{2}) + 2 h^{3}$

Schritt 3.1.2.4

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Schritt 3.1.2.5

Die endgültige Lösung ist $2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$ .

$2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Schritt 3.2

Stelle um.

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Schritt 3.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 x^{3} + 6 h x^{2} + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Schritt 3.2.2

Bewege $x$ .

$2 x^{3} + 6 h x^{2} + 6 h^{2} x + 2 h^{3}$

Schritt 3.2.3

Bewege $2 x^{3}$ .

$6 h x^{2} + 6 h^{2} x + 2 h^{3} + 2 x^{3}$

Schritt 3.2.4

Bewege $6 h x^{2}$ .

$6 h^{2} x + 2 h^{3} + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

Schritt 3.2.5

Stelle $6 h^{2} x$ und $2 h^{3}$ um.

$2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

Schritt 3.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3}$

$f (x + h) = 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3}$

Schritt 4

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - (2 x^{3})}{h}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 x^{3}}{h}$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 0}{h}$

Schritt 5.1.3

Addiere $2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}$ und $0$ .

$\frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}}{h}$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $2 h$ aus $2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.1.4.1

Faktorisiere $2 h$ aus $2 h^{3}$ heraus.

$\frac{2 h \cdot h^{2} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}}{h}$

Schritt 5.1.4.2

Faktorisiere $2 h$ aus $6 h^{2} x$ heraus.

$\frac{2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x) + 6 h x^{2}}{h}$

Schritt 5.1.4.3

Faktorisiere $2 h$ aus $6 h x^{2}$ heraus.

$\frac{2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x) + 2 h (3 x^{2})}{h}$

Schritt 5.1.4.4

Faktorisiere $2 h$ aus $2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x)$ heraus.

$\frac{2 h (h^{2} + 3 h x) + 2 h (3 x^{2})}{h}$

Schritt 5.1.4.5

Faktorisiere $2 h$ aus $2 h (h^{2} + 3 h x) + 2 h (3 x^{2})$ heraus.

$\frac{2 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Schritt 5.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $2 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$ durch $1$ .

$2 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 h^{2} + 2 (3 h x) + 2 (3 x^{2})$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$2 h^{2} + 6 (h x) + 2 (3 x^{2})$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$2 h^{2} + 6 (h x) + 6 x^{2}$

Schritt 5.4

Bewege $h$ .

$2 h^{2} + 6 x h + 6 x^{2}$

Schritt 5.5

Bewege $2 h^{2}$ .

$6 x h + 6 x^{2} + 2 h^{2}$

Schritt 5.6

Stelle $6 x h$ und $6 x^{2}$ um.

$6 x^{2} + 6 x h + 2 h^{2}$

Schritt 6