Elementarmathematik Beispiele

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 3

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 3.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{f ((x + h) + h) - f (x + h)}{h}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.1.1

Faktorisiere $f$ aus $f (x + h + h) - f (x + h)$ heraus.

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Schritt 3.1.2.1.1.1

Faktorisiere $f$ aus $- f (x + h)$ heraus.

$f (x + h) = \frac{f (x + h + h) + f (- 1 (x + h))}{h}$

Schritt 3.1.2.1.1.2

Faktorisiere $f$ aus $f (x + h + h) + f (- 1 (x + h))$ heraus.

$f (x + h) = \frac{f (x + h + h - 1 (x + h))}{h}$

Schritt 3.1.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{f (x + h + h - 1 x - 1 h)}{h}$

Schritt 3.1.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f (x + h) = \frac{f (x + h + h - x - 1 h)}{h}$

Schritt 3.1.2.1.4

Schreibe $- 1 h$ als $- h$ um.

$f (x + h) = \frac{f (x + h + h - x - h)}{h}$

Schritt 3.1.2.1.5

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f (x + h) = \frac{f (h + h + 0 - h)}{h}$

Schritt 3.1.2.1.6

Addiere $h$ und $h$ .

$f (x + h) = \frac{f (2 h + 0 - h)}{h}$

Schritt 3.1.2.1.7

Addiere $2 h$ und $0$ .

$f (x + h) = \frac{f (2 h - h)}{h}$

Schritt 3.1.2.1.8

Subtrahiere $h$ von $2 h$ .

$f (x + h) = \frac{f h}{h}$

Schritt 3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x + h) = \frac{f h}{h}$

Schritt 3.1.2.2.2

Dividiere $f$ durch $1$ .

$f (x + h) = f$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $f$ .

$f$

Schritt 3.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = f$

$f (x) = \frac{f x + f h - f (x)}{h}$

$f (x + h) = f$

$f (x) = \frac{f x + f h - f (x)}{h}$

Schritt 4

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{f - (\frac{f x + f h - f (x)}{h})}{h}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Um $f$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{h}{h}$ .

$\frac{\frac{f h}{h} - \frac{f x + f h - f (x)}{h}}{h}$

Schritt 5.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{f h - (f x + f h - f (x))}{h}}{h}$

Schritt 5.1.3

Schreibe $\frac{f h - (f x + f h - f (x))}{h}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{f h - (f x) - (f h) - - f (x)}{h}}{h}$

Schritt 5.1.3.2

Multipliziere $- - f (x)$ .

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Schritt 5.1.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{f h - f x - f h + 1 f (x)}{h}}{h}$

Schritt 5.1.3.2.2

Mutltipliziere $f (x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{f h - f x - f h + f (x)}{h}}{h}$

Schritt 5.1.3.3

Subtrahiere $f h$ von $f h$ .

$\frac{\frac{- f x + 0 + f (x)}{h}}{h}$

Schritt 5.1.3.4

Addiere $- f x$ und $0$ .

$\frac{\frac{- f x + f (x)}{h}}{h}$

Schritt 5.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{- f x + f (x)}{h} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 5.3

Multipliziere $\frac{- f x + f (x)}{h} \cdot \frac{1}{h}$ .

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $\frac{- f x + f (x)}{h}$ mit $\frac{1}{h}$ .

$\frac{- f x + f (x)}{h \cdot h}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $h$ mit $1$ .

$\frac{- f x + f (x)}{h^{1} h}$

Schritt 5.3.3

Potenziere $h$ mit $1$ .

$\frac{- f x + f (x)}{h^{1} h^{1}}$

Schritt 5.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- f x + f (x)}{h^{1 + 1}}$

Schritt 5.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- f x + f (x)}{h^{2}}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- f x$ heraus.

$\frac{- (f x) + f (x)}{h^{2}}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $f (x)$ heraus.

$\frac{- (f x) - 1 (- f (x))}{h^{2}}$

Schritt 5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (f x) - 1 (- f (x))$ heraus.

$\frac{- (f x - f (x))}{h^{2}}$

Schritt 5.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.7.1

Schreibe $- (f x - f (x))$ als $- 1 (f x - f (x))$ um.

$\frac{- 1 (f x - f (x))}{h^{2}}$

Schritt 5.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{f x - f (x)}{h^{2}}$

Schritt 6