Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 3 x \ln (x)$ ; $[1, e^{2}]$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 3 x \ln (x)$ als Gleichung.

$y = 3 x \ln (x)$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (e^{2}) - f (1)}{(e^{2}) - (1)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = 3 x \ln (x)$ für $f (e^{2})$ und $f (1)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(3 (e^{2}) \ln (e^{2})) - (3 (1) \ln (1))}{(e^{2}) - (1)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $2$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$\frac{3 e^{2} (2 \ln (e)) - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Schritt 3.1.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\frac{3 e^{2} (2 \cdot 1) - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{3 e^{2} \cdot 2 - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 e^{2} - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $- 1 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{6 e^{2} - 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{6 e^{2} - 3 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Schritt 3.1.6

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{6 e^{2} - 3 \cdot 0}{e^{2} - (1)}$

Schritt 3.1.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$\frac{6 e^{2} + 0}{e^{2} - (1)}$

Schritt 3.1.8

Addiere $6 e^{2}$ und $0$ .

$\frac{6 e^{2}}{e^{2} - (1)}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{6 e^{2}}{e^{2} - 1^{2}}$

Schritt 3.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e$ und $b = 1$ .

$\frac{6 e^{2}}{(e + 1) (e - 1)}$