Elementarmathematik Beispiele

$g (x) = \frac{x^{2}}{4} + 7$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$g (x + h) = \frac{{(x + h)}^{2}}{4} + 7$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$g (x + h) = \frac{{(x + h)}^{2}}{4} + 7 \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.2.2.1

Kombiniere $7$ und $\frac{4}{4}$ .

$g (x + h) = \frac{{(x + h)}^{2}}{4} + \frac{7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.1.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$g (x + h) = \frac{{(x + h)}^{2} + 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.3.1

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$g (x + h) = \frac{(x + h) (x + h) + 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.1.2.3.2

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$g (x + h) = \frac{x (x + h) + h (x + h) + 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.1.2.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$g (x + h) = \frac{x \cdot x + x h + h (x + h) + 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.1.2.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$g (x + h) = \frac{x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.1.2.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$g (x + h) = \frac{x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.1.2.3.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$g (x + h) = \frac{x^{2} + x h + h x + h^{2} + 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.1.2.3.3.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 2.1.2.3.3.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$g (x + h) = \frac{x^{2} + h x + h x + h^{2} + 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.1.2.3.3.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$g (x + h) = \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.1.2.3.4

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$g (x + h) = \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 28}{4}$

Schritt 2.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 28}{4}$ .

$\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 28}{4}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$g (x + h) = \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 28}{4}$

$g (x) = \frac{x^{2}}{4} + 7$

$g (x + h) = \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 28}{4}$

$g (x) = \frac{x^{2}}{4} + 7$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{g (x + h) - g x}{h} = \frac{\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 28}{4} - (\frac{x^{2}}{4} + 7)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 28}{4} - \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot 7}{h}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 28}{4} - \frac{x^{2}}{4} - 7}{h}$

Schritt 4.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 28 - x^{2}}{4} - 7}{h}$

Schritt 4.1.4

Um $- 7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 28 - x^{2}}{4} - 7 \cdot \frac{4}{4}}{h}$

Schritt 4.1.5

Kombiniere $- 7$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 28 - x^{2}}{4} + \frac{- 7 \cdot 4}{4}}{h}$

Schritt 4.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 28 - x^{2} - 7 \cdot 4}{4}}{h}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 28 - x^{2} - 7 \cdot 4}{4}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.7.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $4$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 28 - x^{2} - 28}{4}}{h}$

Schritt 4.1.7.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 h x + h^{2} + 28 + 0 - 28}{4}}{h}$

Schritt 4.1.7.3

Addiere $2 h x$ und $0$ .

$\frac{\frac{2 h x + h^{2} + 28 - 28}{4}}{h}$

Schritt 4.1.7.4

Subtrahiere $28$ von $28$ .

$\frac{\frac{2 h x + h^{2} + 0}{4}}{h}$

Schritt 4.1.7.5

Addiere $2 h x + h^{2}$ und $0$ .

$\frac{\frac{2 h x + h^{2}}{4}}{h}$

Schritt 4.1.7.6

Faktorisiere $h$ aus $2 h x + h^{2}$ heraus.

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Schritt 4.1.7.6.1

Faktorisiere $h$ aus $2 h x$ heraus.

$\frac{\frac{h (2 x) + h^{2}}{4}}{h}$

Schritt 4.1.7.6.2

Faktorisiere $h$ aus $h^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{h (2 x) + h (h)}{4}}{h}$

Schritt 4.1.7.6.3

Faktorisiere $h$ aus $h (2 x) + h (h)$ heraus.

$\frac{\frac{h (2 x + h)}{4}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{h (2 x + h)}{4} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (2 x + h)}{4} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x + h}{4}$

Schritt 5