Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{x} - x + 1$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \sqrt{x + h} - (x + h) + 1$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = \sqrt{x + h} - (x + h) + 1$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \sqrt{x + h} - x - h + 1$

Schritt 2.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{x + h} - x - h + 1$ .

$\sqrt{x + h} - x - h + 1$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$\sqrt{h + x} - x - h + 1$

Schritt 2.2.2

Bewege $\sqrt{h + x}$ .

$- x - h + \sqrt{h + x} + 1$

Schritt 2.2.3

Stelle $- x$ und $- h$ um.

$- h - x + \sqrt{h + x} + 1$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = - h - x + \sqrt{h + x} + 1$

$f (x) = \sqrt{x} - x + 1$

$f (x + h) = - h - x + \sqrt{h + x} + 1$

$f (x) = \sqrt{x} - x + 1$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h - x + \sqrt{h + x} + 1 - (\sqrt{x} - x + 1)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- h - x + \sqrt{h + x} + 1 - \sqrt{x} - - x - 1 \cdot 1}{h}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- h - x + \sqrt{h + x} + 1 - \sqrt{x} + 1 x - 1 \cdot 1}{h}$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- h - x + \sqrt{h + x} + 1 - \sqrt{x} + x - 1 \cdot 1}{h}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- h - x + \sqrt{h + x} + 1 - \sqrt{x} + x - 1}{h}$

Schritt 4.1.3

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{- h + 0 + \sqrt{h + x} + 1 - \sqrt{x} - 1}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere $- h$ und $0$ .

$\frac{- h + \sqrt{h + x} + 1 - \sqrt{x} - 1}{h}$

Schritt 4.1.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{- h + \sqrt{h + x} + 0 - \sqrt{x}}{h}$

Schritt 4.1.6

Addiere $- h$ und $0$ .

$\frac{- h + \sqrt{h + x} - \sqrt{x}}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{h + x}$ heraus.

$\frac{- h - 1 (- \sqrt{h + x}) - \sqrt{x}}{h}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- h - 1 (- \sqrt{h + x})$ heraus.

$\frac{- (h - \sqrt{h + x}) - \sqrt{x}}{h}$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{x}$ heraus.

$\frac{- (h - \sqrt{h + x}) - (\sqrt{x})}{h}$

Schritt 4.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (h - \sqrt{h + x}) - (\sqrt{x})$ heraus.

$\frac{- (h - \sqrt{h + x} + \sqrt{x})}{h}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.5.1

Schreibe $- (h - \sqrt{h + x} + \sqrt{x})$ als $- 1 (h - \sqrt{h + x} + \sqrt{x})$ um.

$\frac{- 1 (h - \sqrt{h + x} + \sqrt{x})}{h}$

Schritt 4.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{h - \sqrt{h + x} + \sqrt{x}}{h}$

Schritt 5