Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} + 3}{x - 2}$ ; $[4, 9]$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x^{2} + 3}{x - 2}$ als Gleichung.

$y = \frac{x^{2} + 3}{x - 2}$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (9) - f (4)}{(9) - (4)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = \frac{x^{2} + 3}{x - 2}$ für $f (9)$ und $f (4)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(\frac{{(9)}^{2} + 3}{(9) - 2}) - (\frac{{(4)}^{2} + 3}{(4) - 2})}{(9) - (4)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $(9 - 2) (4 - 2)$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{9^{2} + 3}{9 - 2} - \frac{4^{2} + 3}{4 - 2}}{9 - (4)}$ mit $\frac{(9 - 2) (4 - 2)}{(9 - 2) (4 - 2)}$ .

$\frac{(9 - 2) (4 - 2)}{(9 - 2) (4 - 2)} \cdot \frac{\frac{9^{2} + 3}{9 - 2} - \frac{4^{2} + 3}{4 - 2}}{9 - (4)}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{(9 - 2) (4 - 2) (\frac{9^{2} + 3}{9 - 2} - \frac{4^{2} + 3}{4 - 2})}{(9 - 2) (4 - 2) (9 - (4))}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(9 - 2) (4 - 2) \frac{9^{2} + 3}{9 - 2} + (9 - 2) (4 - 2) (- \frac{4^{2} + 3}{4 - 2})}{(9 - 2) (4 - 2) \cdot 9 + (9 - 2) (4 - 2) (- (4))}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9 - 2$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(9 - 2) (4 - 2) \frac{9^{2} + 3}{9 - 2} + (9 - 2) (4 - 2) (- \frac{4^{2} + 3}{4 - 2})}{(9 - 2) (4 - 2) \cdot 9 + (9 - 2) (4 - 2) (- (4))}$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(4 - 2) (9^{2} + 3) + (9 - 2) (4 - 2) (- \frac{4^{2} + 3}{4 - 2})}{(9 - 2) (4 - 2) \cdot 9 + (9 - 2) (4 - 2) (- (4))}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 - 2$ .

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Schritt 3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4^{2} + 3}{4 - 2}$ in den Zähler.

$\frac{(4 - 2) (9^{2} + 3) + (9 - 2) (4 - 2) \frac{- (4^{2} + 3)}{4 - 2}}{(9 - 2) (4 - 2) \cdot 9 + (9 - 2) (4 - 2) (- (4))}$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $4 - 2$ aus $(9 - 2) (4 - 2)$ heraus.

$\frac{(4 - 2) (9^{2} + 3) + (4 - 2) (9 - 2) \frac{- (4^{2} + 3)}{4 - 2}}{(9 - 2) (4 - 2) \cdot 9 + (9 - 2) (4 - 2) (- (4))}$

Schritt 3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(4 - 2) (9^{2} + 3) + (4 - 2) (9 - 2) \frac{- (4^{2} + 3)}{4 - 2}}{(9 - 2) (4 - 2) \cdot 9 + (9 - 2) (4 - 2) (- (4))}$

Schritt 3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(4 - 2) (9^{2} + 3) + (9 - 2) (- (4^{2} + 3))}{(9 - 2) (4 - 2) \cdot 9 + (9 - 2) (4 - 2) (- (4))}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$\frac{2 (9^{2} + 3) + (9 - 2) (- (4^{2} + 3))}{(9 - 2) (4 - 2) \cdot 9 + (9 - 2) (4 - 2) (- (4))}$

Schritt 3.4.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\frac{2 (81 + 3) + (9 - 2) (- (4^{2} + 3))}{(9 - 2) (4 - 2) \cdot 9 + (9 - 2) (4 - 2) (- (4))}$

Schritt 3.4.3

Addiere $81$ und $3$ .

$\frac{2 \cdot 84 + (9 - 2) (- (4^{2} + 3))}{(9 - 2) (4 - 2) \cdot 9 + (9 - 2) (4 - 2) (- (4))}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $84$ .

$\frac{168 + (9 - 2) (- (4^{2} + 3))}{(9 - 2) (4 - 2) \cdot 9 + (9 - 2) (4 - 2) (- (4))}$

Schritt 3.4.5

Subtrahiere $2$ von $9$ .

$\frac{168 + 7 (- (4^{2} + 3))}{(9 - 2) (4 - 2) \cdot 9 + (9 - 2) (4 - 2) (- (4))}$

Schritt 3.4.6

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{168 + 7 (- (16 + 3))}{(9 - 2) (4 - 2) \cdot 9 + (9 - 2) (4 - 2) (- (4))}$

Schritt 3.4.7

Addiere $16$ und $3$ .

$\frac{168 + 7 (- 1 \cdot 19)}{(9 - 2) (4 - 2) \cdot 9 + (9 - 2) (4 - 2) (- (4))}$

Schritt 3.4.8

Multipliziere $7 (- 1 \cdot 19)$ .

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Schritt 3.4.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $19$ .

$\frac{168 + 7 \cdot - 19}{(9 - 2) (4 - 2) \cdot 9 + (9 - 2) (4 - 2) (- (4))}$

Schritt 3.4.8.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 19$ .

$\frac{168 - 133}{(9 - 2) (4 - 2) \cdot 9 + (9 - 2) (4 - 2) (- (4))}$

Schritt 3.4.9

Subtrahiere $133$ von $168$ .

$\frac{35}{(9 - 2) (4 - 2) \cdot 9 + (9 - 2) (4 - 2) (- (4))}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $2$ von $9$ .

$\frac{35}{7 (4 - 2) \cdot 9 + (9 - 2) (4 - 2) (- (4))}$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$\frac{35}{7 \cdot 2 \cdot 9 + (9 - 2) (4 - 2) (- (4))}$

Schritt 3.5.3

Multipliziere $7 \cdot 2 \cdot 9$ .

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Schritt 3.5.3.1

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$\frac{35}{14 \cdot 9 + (9 - 2) (4 - 2) (- (4))}$

Schritt 3.5.3.2

Mutltipliziere $14$ mit $9$ .

$\frac{35}{126 + (9 - 2) (4 - 2) (- (4))}$

Schritt 3.5.4

Subtrahiere $2$ von $9$ .

$\frac{35}{126 + 7 (4 - 2) (- (4))}$

Schritt 3.5.5

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$\frac{35}{126 + 7 \cdot 2 (- (4))}$

Schritt 3.5.6

Multipliziere $7 \cdot 2 (- (4))$ .

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Schritt 3.5.6.1

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$\frac{35}{126 + 14 (- (4))}$

Schritt 3.5.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{35}{126 + 14 \cdot - 4}$

Schritt 3.5.6.3

Mutltipliziere $14$ mit $- 4$ .

$\frac{35}{126 - 56}$

Schritt 3.5.7

Subtrahiere $56$ von $126$ .

$\frac{35}{70}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $35$ und $70$ .

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $35$ aus $35$ heraus.

$\frac{35 (1)}{70}$

Schritt 3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.2.1

Faktorisiere $35$ aus $70$ heraus.

$\frac{35 \cdot 1}{35 \cdot 2}$

Schritt 3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{35 \cdot 1}{35 \cdot 2}$

Schritt 3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2}$