Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 4 e^{x}$ , $[- 2, 2]$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 4 e^{x}$ als Gleichung.

$y = 4 e^{x}$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (2) - f (- 2)}{(2) - (- 2)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = 4 e^{x}$ für $f (2)$ und $f (- 2)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(4 e^{2}) - (4 e^{- 2})}{(2) - (- 2)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $4 e^{2}$ als ${(2 e)}^{2}$ um.

$\frac{{(2 e)}^{2} - 1 \cdot 4 e^{- 2}}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $4 e^{- 2}$ als ${(2 e^{- 1})}^{2}$ um.

$\frac{{(2 e)}^{2} - {(2 e^{- 1})}^{2}}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 e$ und $b = 2 e^{- 1}$ .

$\frac{(2 e + 2 e^{- 1}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 e + 2 e^{- 1}$ heraus.

$\frac{2 (e + e^{- 1}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 (e + \frac{1}{e}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (e + \frac{1}{e}) (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.5

Um $e$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e}{e}$ .

$\frac{2 (\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}) (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \frac{e e + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.7

Multipliziere $e e$ .

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Schritt 3.1.7.1

Potenziere $e$ mit $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{1} e + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.7.2

Potenziere $e$ mit $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{1} e^{1} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \frac{e^{1 + 1} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.7.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - 2 \frac{1}{e})}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.8.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e + \frac{- 2}{e})}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - \frac{2}{e})}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.9

Um $2 e$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e}{e}$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (\frac{2 e e}{e} - \frac{2}{e})}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e e - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.11

Multipliziere $2 e e$ .

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Schritt 3.1.11.1

Potenziere $e$ mit $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 (e^{1} e) - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.11.2

Potenziere $e$ mit $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 (e^{1} e^{1}) - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.11.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e^{1 + 1} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.11.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e^{2} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.12

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.1.12.1

Kombiniere $2$ und $\frac{e^{2} + 1}{e}$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1)}{e} \cdot \frac{2 e^{2} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.12.2

Mutltipliziere $\frac{2 (e^{2} + 1)}{e}$ mit $\frac{2 e^{2} - 2}{e}$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e e}}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.12.3

Potenziere $e$ mit $1$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1} e}}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.12.4

Potenziere $e$ mit $1$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1} e^{1}}}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.12.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1 + 1}}}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.1.12.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{2 - (- 2)}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{2 + 2}$

Schritt 3.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{4}$

Schritt 3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.1

Kombinieren.

$\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2) \cdot 1}{e^{2} \cdot 4}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2) \cdot 1$ heraus.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{e^{2} \cdot 4}$

Schritt 3.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $e^{2} \cdot 4$ heraus.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{2 (e^{2} \cdot 2)}$

Schritt 3.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{2 (e^{2} \cdot 2)}$

Schritt 3.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1}{e^{2} \cdot 2}$

Schritt 3.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 e^{2} - 2$ und $2$ .

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1$ heraus.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{e^{2} \cdot 2}$

Schritt 3.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $e^{2} \cdot 2$ heraus.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{2 \cdot e^{2}}$

Schritt 3.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{2 \cdot e^{2}}$

Schritt 3.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1}{e^{2}}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $e^{2} + 1$ mit $1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1)}{e^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1^{2})}{e^{2}}$

Schritt 3.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e$ und $b = 1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}}$