Elementarmathematik Beispiele

$f (t) = t^{- 3}$ ;, $(\frac{1}{2}, 8)$

Schritt 1

Schreibe $f (t) = t^{- 3}$ als Gleichung.

$y = t^{- 3}$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $t$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (8) - f (\frac{1}{2})}{(8) - (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = t^{- 3}$ für $f (8)$ und $f (\frac{1}{2})$ ein, wobei $t$ durch den entsprechenden $t$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{({(8)}^{- 3}) - ({(\frac{1}{2})}^{- 3})}{(8) - (\frac{1}{2})}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $2$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{8^{- 3} - {(\frac{1}{2})}^{- 3}}{8 - \frac{1}{2}}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{8^{- 3} - {(\frac{1}{2})}^{- 3}}{8 - \frac{1}{2}}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{2 (8^{- 3} - {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 (8 - \frac{1}{2})}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 8^{- 3} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 + 2 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$\frac{2 \cdot 8^{- 3} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 8^{- 3} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cdot 8^{- 3} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \cdot \frac{1}{8^{3}} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

Schritt 3.4.2

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{2 \cdot \frac{1}{512} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

Schritt 3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $512$ heraus.

$\frac{2 \cdot \frac{1}{2 (256)} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

Schritt 3.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot \frac{1}{2 \cdot 256} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

Schritt 3.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{1}{256} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

Schritt 3.4.4

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$\frac{\frac{1}{256} + 2 (- 2^{3})}{2 \cdot 8 - 1}$

Schritt 3.4.5

Multipliziere $2$ mit $2^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.5.1

Bewege $2^{3}$ .

$\frac{\frac{1}{256} + 2^{3} \cdot 2 \cdot - 1}{2 \cdot 8 - 1}$

Schritt 3.4.5.2

Mutltipliziere $2^{3}$ mit $2$ .

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Schritt 3.4.5.2.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1}{256} + 2^{3} \cdot 2^{1} \cdot - 1}{2 \cdot 8 - 1}$

Schritt 3.4.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{1}{256} + 2^{3 + 1} \cdot - 1}{2 \cdot 8 - 1}$

Schritt 3.4.5.3

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{\frac{1}{256} + 2^{4} \cdot - 1}{2 \cdot 8 - 1}$

Schritt 3.4.6

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{\frac{1}{256} + 16 \cdot - 1}{2 \cdot 8 - 1}$

Schritt 3.4.7

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{1}{256} - 16}{2 \cdot 8 - 1}$

Schritt 3.4.8

Um $- 16$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{256}{256}$ .

$\frac{\frac{1}{256} - 16 \cdot \frac{256}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

Schritt 3.4.9

Kombiniere $- 16$ und $\frac{256}{256}$ .

$\frac{\frac{1}{256} + \frac{- 16 \cdot 256}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

Schritt 3.4.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1 - 16 \cdot 256}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

Schritt 3.4.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.11.1

Mutltipliziere $- 16$ mit $256$ .

$\frac{\frac{1 - 4096}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

Schritt 3.4.11.2

Subtrahiere $4096$ von $1$ .

$\frac{\frac{- 4095}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

Schritt 3.4.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{4095}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{- \frac{4095}{256}}{16 - 1}$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $1$ von $16$ .

$\frac{- \frac{4095}{256}}{15}$

Schritt 3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{4095}{256} \cdot \frac{1}{15}$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 3.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4095}{256}$ in den Zähler.

$\frac{- 4095}{256} \cdot \frac{1}{15}$

Schritt 3.7.2

Faktorisiere $15$ aus $- 4095$ heraus.

$\frac{15 (- 273)}{256} \cdot \frac{1}{15}$

Schritt 3.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15 \cdot - 273}{256} \cdot \frac{1}{15}$

Schritt 3.7.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 273}{256}$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{273}{256}$