Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{3}{x^{3}}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

Schritt 2.1.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$ .

$\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{3}}$

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{3}}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3}{{(x + h)}^{3}} - (\frac{3}{x^{3}})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Um $\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{3}{x^{3}}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{3}{x^{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ .

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{3}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von ${(x + h)}^{3} x^{3}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$ mit $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} - \frac{3}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{3}{x^{3}}$ mit $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} - \frac{3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Stelle die Faktoren von ${(x + h)}^{3} x^{3}$ um.

$\frac{\frac{3 x^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}} - \frac{3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 x^{3} - 3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{3} - 3 {(x + h)}^{3}$ heraus.

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Schritt 4.1.5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$\frac{\frac{3 (x^{3}) - 3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 4.1.5.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 {(x + h)}^{3}$ heraus.

$\frac{\frac{3 (x^{3}) + 3 (- {(x + h)}^{3})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 4.1.5.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{3}) + 3 (- {(x + h)}^{3})$ heraus.

$\frac{\frac{3 (x^{3} - {(x + h)}^{3})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = x + h$ .

$\frac{\frac{3 ((x - (x + h)) (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 4.1.5.3

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{3 ((x - x - h) (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{\frac{3 ((0 - h) (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.3

Subtrahiere $h$ von $0$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x \cdot x + x h + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.6

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + (x + h) (x + h)))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.7

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.5.3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x (h) + x (x + h) + h (x + h)))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x (h) + x \cdot x + x (h) + h (x + h)))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.5.3.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.5.3.8.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + x h + h x + h \cdot h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.8.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + x h + h x + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.8.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 4.1.5.3.8.2.1

Stelle $h$ und $x$ um.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + x h + x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.8.2.2

Addiere $x h$ und $x h$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + 2 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.9

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{\frac{3 (- h (2 x^{2} + x h + x^{2} + 2 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.10

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{\frac{3 (- h (3 x^{2} + x h + 2 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.11

Addiere $x h$ und $2 x h$ .

$\frac{\frac{3 (- h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

$\frac{\frac{3 \cdot - 1 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 4.1.5.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.1.5.4.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{\frac{- (3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 4.1.5.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{- 3 (h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

$\frac{\frac{- 3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 4.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$ in den Zähler.

$\frac{- 3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $h$ aus $- 3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})$ heraus.

$\frac{h (- 3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (- 3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$

Schritt 5