Elementarmathematik Beispiele

$B (t) = 8500 \cdot {(\frac{8}{27})}^{\frac{t}{3}}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = t + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $t + h$ .

$B (t + h) = 8500 \cdot {(\frac{8}{27})}^{\frac{t + h}{3}}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{8}{27}$ an.

$B (t + h) = 8500 \cdot \frac{8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}}$

Schritt 2.1.2.2

Kombiniere $8500$ und $\frac{8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}}$ .

$B (t + h) = \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}}$

Schritt 2.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}}$ .

$\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$B (t + h) = \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}}$

$B (t) = \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}}$

$B (t + h) = \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}}$

$B (t) = \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{B (t + h) - B t}{h} = \frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}} - (\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Um $\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}}$ .

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}} \cdot \frac{27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}} - \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}$ .

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}} \cdot \frac{27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}} - \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}} \cdot \frac{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}}{h}$

Schritt 4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $27^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}}$ mit $\frac{27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}}$ .

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}} - \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}} \cdot \frac{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Multipliziere $27^{\frac{t + h}{3}}$ mit $27^{\frac{t}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.3.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3} + \frac{t}{3}}} - \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}} \cdot \frac{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}}{h}$

Schritt 4.1.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t + h + t}{3}}} - \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}} \cdot \frac{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}}{h}$

Schritt 4.1.3.2.3

Addiere $t$ und $t$ .

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{2 t + h}{3}}} - \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}} \cdot \frac{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}}$ mit $\frac{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}$ .

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{2 t + h}{3}}} - \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}}{h}$

Schritt 4.1.3.4

Multipliziere $27^{\frac{t}{3}}$ mit $27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.3.4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

Schritt 4.1.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{2 t + h}{3}}} - \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{t + h + t}{3}}}}{h}$

Schritt 4.1.3.4.3

Addiere $t$ und $t$ .

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{2 t + h}{3}}} - \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{2 t + h}{3}}}}{h}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{2 t + h}{3}}}}{h}$

Schritt 4.1.5

Faktorisiere $8500$ aus $8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}$ heraus.

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Schritt 4.1.5.1

Faktorisiere $8500$ aus $8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}$ heraus.

$\frac{\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}) - 8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{2 t + h}{3}}}}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Faktorisiere $8500$ aus $- 8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}$ heraus.

$\frac{\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}) + 8500 (- 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}})}{27^{\frac{2 t + h}{3}}}}{h}$

Schritt 4.1.5.3

Faktorisiere $8500$ aus $8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}) + 8500 (- 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}})$ heraus.

$\frac{\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}})}{27^{\frac{2 t + h}{3}}}}{h}$

Schritt 4.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.6.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h + t}{3}})}{27^{\frac{2 t + h}{3}}}}{h}$

Schritt 4.1.6.2

Stelle $h$ und $t$ um.

$\frac{\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{t + h}{3}})}{27^{\frac{2 t + h}{3}}}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{t + h}{3}})}{27^{\frac{2 t + h}{3}}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kombinieren.

$\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{t + h}{3}}) \cdot 1}{27^{\frac{2 t + h}{3}} h}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $8500$ mit $1$ .

$\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{t + h}{3}})}{27^{\frac{2 t + h}{3}} h}$

Schritt 4.4.2

Stelle die Faktoren in $\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{t + h}{3}})}{27^{\frac{2 t + h}{3}} h}$ um.

$\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{t + h}{3}})}{h \cdot 27^{\frac{2 t + h}{3}}}$

Schritt 5