Elementarmathematik Beispiele

$y = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe $y = {(x + 2)}^{2}$ als Funktion.

$f (x) = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 2

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 3

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 3.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = {((x + h) + 2)}^{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Schreibe ${(x + h + 2)}^{2}$ als $(x + h + 2) (x + h + 2)$ um.

$f (x + h) = (x + h + 2) (x + h + 2)$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere $(x + h + 2) (x + h + 2)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot 2 + h x + h \cdot h + h \cdot 2 + 2 x + 2 h + 2 \cdot 2$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + x \cdot 2 + h x + h \cdot h + h \cdot 2 + 2 x + 2 h + 2 \cdot 2$

Schritt 3.1.2.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 2 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot 2 + 2 x + 2 h + 2 \cdot 2$

Schritt 3.1.2.3.3

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 2 x + h x + h^{2} + h \cdot 2 + 2 x + 2 h + 2 \cdot 2$

Schritt 3.1.2.3.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 2 x + h x + h^{2} + 2 \cdot h + 2 x + 2 h + 2 \cdot 2$

Schritt 3.1.2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 2 x + h x + h^{2} + 2 h + 2 x + 2 h + 4$

Schritt 3.1.2.4

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 3.1.2.4.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + 2 x + h^{2} + 2 h + 2 x + 2 h + 4$

Schritt 3.1.2.4.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 2 x + h^{2} + 2 h + 2 x + 2 h + 4$

Schritt 3.1.2.5

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h + 4 x + 2 h + 4$

Schritt 3.1.2.6

Addiere $2 h$ und $2 h$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 4 h + 4 x + 4$

Schritt 3.1.2.7

Die endgültige Lösung ist $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 4 h + 4 x + 4$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 4 h + 4 x + 4$

Schritt 3.2

Stelle um.

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Schritt 3.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 4 h + 4 x + 4$

Schritt 3.2.2

Stelle $2 h x$ und $h^{2}$ um.

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4$

Schritt 3.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4$

$f (x) = x^{2} + 4 x + 4$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4$

$f (x) = x^{2} + 4 x + 4$

Schritt 4

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4 - (x^{2} + 4 x + 4)}{h}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4 - x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 4}{h}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache.

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4 - x^{2} - 4 x - 1 \cdot 4}{h}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4 - x^{2} - 4 x - 4}{h}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h + 4 x + 4 + 0 - 4 x - 4}{h}$

Schritt 5.1.4

Addiere $h^{2}$ und $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h + 4 x + 4 - 4 x - 4}{h}$

Schritt 5.1.5

Subtrahiere $4 x$ von $4 x$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h + 0 + 4 - 4}{h}$

Schritt 5.1.6

Addiere $h^{2}$ und $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h + 4 - 4}{h}$

Schritt 5.1.7

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h + 0}{h}$

Schritt 5.1.8

Addiere $h^{2} + 2 h x + 4 h$ und $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h}{h}$

Schritt 5.1.9

Faktorisiere $h$ aus $h^{2} + 2 h x + 4 h$ heraus.

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Schritt 5.1.9.1

Faktorisiere $h$ aus $h^{2}$ heraus.

$\frac{h \cdot h + 2 h x + 4 h}{h}$

Schritt 5.1.9.2

Faktorisiere $h$ aus $2 h x$ heraus.

$\frac{h (h) + h (2 x) + 4 h}{h}$

Schritt 5.1.9.3

Faktorisiere $h$ aus $4 h$ heraus.

$\frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 4}{h}$

Schritt 5.1.9.4

Faktorisiere $h$ aus $h (h) + h (2 x)$ heraus.

$\frac{h (h + 2 x) + h \cdot 4}{h}$

Schritt 5.1.9.5

Faktorisiere $h$ aus $h (h + 2 x) + h \cdot 4$ heraus.

$\frac{h (h + 2 x + 4)}{h}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (h + 2 x + 4)}{h}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $h + 2 x + 4$ durch $1$ .

$h + 2 x + 4$

Schritt 5.2.2

Stelle $h$ und $2 x$ um.

$2 x + h + 4$

Schritt 6